Question

5．如图所示，虚线框内为某种电磁缓冲车的结构示意图，其主要部件为缓冲滑块 K和质量为m的缓冲车厢．在缓冲车的底板上，沿车的轴线固定着两个光滑水平绝缘导轨PQ、MN．缓冲车的底部，安装电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B．导轨内的缓冲滑块K由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有闭合矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R，匝数为n，ab边长为L．假设缓冲车以速度v₀与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，此后线圈与轨道的磁场作用力使缓冲车厢减速运动，从而实现缓冲，一切摩擦阻力不计．

（1）求滑块K的线圈中最大感应电动势的大小；
（2）若缓冲车厢向前移动距离L后速度为零，则此过程线圈abcd中通过的电量和产生的焦耳热各是多少？
（3）若缓冲车以某一速度v₀′（未知）与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，缓冲车厢所受的最大水平磁场力为F_m．缓冲车在滑块K停下后，其速度v随位移x的变化规律满足：v=v₀′-$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$x．要使导轨右端不碰到障碍物，则缓冲车与障碍物C碰撞前，导轨右端与滑块K的cd边距离至少多大？

Answer 1

分析 （1）缓冲车以速度v₀与障碍物C碰撞后，滑块相对磁场的速度大小为v₀，此时线框中产生的感应电动势最大，由公式E_m=nBLv₀求出最大感应电热势．
（2）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电流的定义式结合求电量．缓冲车厢向前移动距离L后速度为零，缓冲车厢的动能全部转化为内能，根据能量守恒求线圈中产生的热量；
（3）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式得到缓冲车厢所受的最大水平磁场力F_m与$v_0^'$的关系式，根据题意，$v=v_0^'-\frac{{{n^2}{B^2}{L^2}}}{mR}x$，当v=0时，求出x．

解答 解：（1）缓冲车以速度v₀与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，滑块相对磁场的速度大小为v₀，线圈中产生的感应电动势最大，则有E_m=nBLv₀．
（2）由法拉第电磁感应定律得：
E=n$\frac{△Φ}{△t}$，其中△Φ=BL²．
由欧姆定律得：$\overline{I}$=$\frac{E}{R}$
又$\overline{I}$=$\frac{q}{t}$
代入整理得：此过程线圈abcd中通过的电量为：q=n$\frac{B{L}^{2}}{R}$．
由功能关系得：线圈产生的焦耳热为：Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
（3）若缓冲车以某一速度$v_0^'$与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，滑块相对磁场的速度大小为$v_0^'$，线圈中产生的感应电动势 E=nBL$v_0^'$，
线圈中感应电流为 I=$\frac{E}{R}$
线圈ab边受到的安培力F=nBIL
依题意有F=F_m．
解得，$v_0^'$=$\frac{{F}_{m}R}{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$
由题意知，$v=v_0^'-\frac{{{n^2}{B^2}{L^2}}}{mR}x$，
当v=0时，解得：x=$\frac{{F}_{m}m{R}^{2}}{{n}^{4}{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）滑块K的线圈中最大感应电动势的大小是nBLv₀；
（2）若缓冲车厢向前移动距离L后速度为零，则此过程线圈abcd中通过的电量和产生的焦耳热各是n$\frac{B{L}^{2}}{R}$和$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$．
（3）缓冲车与障碍物C碰撞前，导轨右端与滑块K的cd边距离至少为$\frac{{F}_{m}m{R}^{2}}{{n}^{4}{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题考查学生分析和理解科技成果的能力，运用电磁感应、电路及力学的基本规律进行分析．