Question

19．在电荷量为Q的点电荷激发电场空间中，距Q为r处电势表达式为φ=$\frac{kQ}{r}$，其中k为静电力常量，取无穷远处为零电势点．今有一电荷量为Q的正点电荷，固定在空间中某处．一电荷量为q、质量为m的负点电荷绕其做椭圆运动，不计负点电荷重力．Q位于椭圆的一个焦点上，椭圆半长轴长为a，焦距为c，该点电荷动能与系统电势能之和表达式正确的是（　　）

• A． $\frac{kQq}{2a}$
• B． -$\frac{kQq}{2a}$
• C． -$\frac{kQq}{2（{a}^{2}-{c}^{2}）}$
• D． -$\frac{kQq}{2c}$

Answer 1

分析 负电荷在绕正电荷做椭圆运动时，动能和电势能之和保持不变；在电荷离中正电荷最近点和最远点曲率库仑力提供向心力，此两点曲率半径相同，根据向心力公式可求得对应的速度；再根据电势能的公式即可求得电势能；从而求出电势能和动能之和．

解答 解：如图所示，AB两点为负电荷转动中的近地点和远地点，做椭圆运动的电荷在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设曲率半径为r；
则对A点：$\frac{KQq}{（a-c）^{2}}$=$\frac{m{v}_{A}^{2}}{r}$
对B点有：$\frac{KQq}{（a+c）^{2}}=m\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$
则有：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{a+c}{a-c}$
电荷的引力势能为EP=φq=-$\frac{KQq}{r}$，动能为E_K=$\frac{1}{2}$mv²；
则卫星在A、B两点的机械能分别为：
E_A=$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{KQq}{a-c}$
E_B=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{KQq}{a+c}$
根据机械能守恒有：E_A=E_B；
联立解得：mv²_A=$\frac{（a+c）KQ}{（a-c）a}$；mv_B²=$\frac{（a-c）KQ}{（a+c）a}$
将速度分别代入，则可得出总机械能E=-$\frac{KQq}{2a}$，故B正确，ACD错误．
故选：B．

点评 本题考查库仑力作用下的椭圆运动，解题时可以直接利用天体运动的规律进行分析，需要特别注意的是椭圆的性质，能清楚AB两点曲率半径相同是解题的关键．