Question

16．在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度为2v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．已知地球，火星两星球的质量比约为10：1、半径比约为2：1，则探测器在地球表面受到的引力与在火星表面受到的引力之比为5：2；探测器分别脱离两星球所需要的发射速度之比为$\sqrt{5}：1$．

Answer 1

分析 探测器刚好脱离星球，动能全部转化为势能，发射速度与质量无关，根据万有引力公式以及地球、火星两星球质量、半径的关系比较万有引力大小

解答 解：根据万有引力定律，探测器在地球表面受到的引力为：$F=G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}$
探测器在火星表面受到的引力为：$F′=G\frac{{M}_{火}^{\;}m}{{R}_{火}^{2}}$
$\frac{F}{F′}=\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{火}^{\;}}\frac{{R}_{火}^{2}}{{R}_{地}^{2}}=\frac{10}{1}×\frac{{1}_{\;}^{2}}{{2}_{\;}^{2}}=\frac{5}{2}$
根据万有引力提供向心力为：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，
得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
探测器绕地球表面做匀速圆周运动的线速度为：$v=\sqrt{\frac{G{M}_{地}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}$
探测器绕火星表面做匀速圆周运动的线速度为：$v′=\sqrt{\frac{G{M}_{火}^{\;}}{{R}_{火}^{\;}}}$
$\frac{v}{v′}=\sqrt{\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{火}^{\;}}\frac{{R}_{火}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}=\sqrt{\frac{10}{1}×\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{1}$
探测器分别脱离两星球所需要的发射速度之比为：$\frac{2v}{2v′}=\frac{v}{v′}=\frac{\sqrt{5}}{1}$
故答案为：5：2，$\sqrt{5}：1$

点评 本题主要考查了万有引力公式得直接应用，知道绕星球表面做匀速圆周运动速度的含义，明确探测器刚好脱离星球的速度与第一宇宙速度的关系，难度适中．