Question

8．计划发射一颗距离地面高度为地球半径h=（$\sqrt{2}$-1）R₀的圆形轨道地球卫星．（R₀为地球半径，卫星轨道与赤道平面重合．已知地球表面重力加速度为g）．
（1）求出卫星绕地心运动周期T；
（2）设地球自转周期T₀，该卫星绕地球旋转方向与地球自转方向相同，则在赤道上某一点的人能连续观察的该卫星的时间是多少？

Answer 1

分析 （1）利用万有引力提供卫星做圆周运动的向心力列式，即可求解卫星的周期T．
（2）当卫星与观察者的连线与观察者所在的地球的半径垂直时观察者开始看到卫星，当卫星与人的连线与人所在的地球的半径垂直时人对卫星的观察结束，
根据几何关系进行求解．

解答 解：（1）卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，则有：
   G$\frac{Mm}{（{R}_{0}+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$•（R₀+h）
在地球表面，根据万有引力等于重力，G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g
又据题有 h=（$\sqrt{2}$-1）R₀
故联立以上三式解得：T=2$\sqrt{2}$π $\sqrt{\frac{\sqrt{2}{R}_{0}}{g}}$
（2）设人在B₁位置刚好看见卫星出现在A₁位置，最后在B₂位置看到卫星从A₂位置消失，OA₁=$\sqrt{2}$OB₁
设∠A₁OB₁=∠A₂OB₂=θ
则cosθ=$\frac{O{B}_{1}}{O{A}_{1}}$=$\sqrt{2}$，所以θ=$\frac{π}{4}$ 
设人从B₁位置到B₂位置的时间为t，则人转过的角度为$\frac{t}{{T}_{0}}$•2π，卫星转过的角度为$\frac{t}{T}$•2π
故有2×$\frac{π}{4}$+$\frac{t}{{T}_{0}}$•2π=$\frac{t}{T}$•2π
将卫星绕地心运动周期T=2$\sqrt{2}$π $\sqrt{\frac{\sqrt{2}{R}_{0}}{g}}$，代入上式可得
 t=$\frac{\sqrt{2}π\sqrt{\sqrt{2}{R}_{0}}}{2（{T}_{0}\sqrt{g}-2\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2}{R}_{0}}）}$
答：
（1）卫星绕地心运动周期是2$\sqrt{2}$π $\sqrt{\frac{\sqrt{2}{R}_{0}}{g}}$．
（2）设地球自转周期T₀，该卫星绕地球旋转方向与地球自转方向相同，则在赤道上某一点的人能连续观察的该卫星的时间是$\frac{\sqrt{2}π\sqrt{\sqrt{2}{R}_{0}}}{2（{T}_{0}\sqrt{g}-2\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2}{R}_{0}}）}$．

点评 在地球的质量不知而地球表面的重力加速度已知时，要用黄金代换公式表示地球的质量，这是我们经常使用的方法，要注意掌握．