Question

15．质量为m₁的登月舱连接在质量为m₂的轨道舱上一起绕月球作圆周运动，其轨道半径是月球半径R_m的3倍．某一时刻，登月舱与轨道舱分离，轨道舱仍在原轨轨道上运动，登月舱作一瞬间减速后，沿图示椭圆轨道登上月球表面，在月球表面逗留一段时间后，快速启动发动机，使登月舱具有一合适的初速度，使之沿原椭圆轨道回到脱离点与轨道舱实现对接．由开普勒第三定律可知，以太阳为焦点作椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量．另，设椭圆的半长轴为a，行星质量为m，太阳质量为M₀，则行星的总能量为E=-$\frac{G{M}_{0}m}{2a}$．行星在椭圆轨道上运行时，行星的机械能守恒，当它距太阳的距离为r时，它的引力势能为E_P=-$\frac{G{M}_{0}m}{r}$．G为引力恒量．设月球质量为M，不计地球及其它天体对登月舱和轨道舱的作用力．求：
（1）登月舱减速时，发动机做了多少功？
（2）登月舱在月球表面可逗留多长时间？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，求出登月舱未减速时的动能，结合势能的大小求出总能量的大小．根据总能量的表达式求出在椭圆轨道上的能量，结合能量守恒求出发动机做功的大小．
（2）根据万有引力提供向心力求出轨道舱的周期，结合开普勒第三定律求出登月舱和轨道舱周期的关系，抓住轨道舱运动的周期性求出登月舱在月球表面停留的时间．

解答 解：（1）根据$G\frac{Mm}{（3{R}_{m}）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{3{R}_{m}}$得：${v}^{2}=\frac{GM}{3{R}_{m}}$，
登月舱未减速时，动能为：E_k1=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}\frac{GM}{3{R}_{m}}$，
总能量为：E=${E}_{k1}+{E}_{p}=\frac{1}{6}\frac{GM{m}_{1}}{{R}_{m}}-\frac{GM{m}_{1}}{3{R}_{m}}$=$-\frac{GM{m}_{1}}{6{R}_{m}}$，
在椭圆轨道运行时，半长轴为：a=$\frac{3{R}_{m}+{R}_{m}}{2}=2{R}_{m}$，
则登月舱减速后的总能量为：$E′=\frac{-GM{m}_{1}}{2×2{R}_{m}}=-\frac{GM{m}_{1}}{4{R}_{m}}$，
根据能量守恒得，发动机做功为：$W=E′-E=-\frac{GM{m}_{1}}{12{R}_{m}}$．
（2）设轨道舱的周期为T，根据$G\frac{Mm}{（3{R}_{m}）^{2}}=m•3{R}_{m}•\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得：$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}•（3{R}_{m}）^{3}}{GM}}$，
登月舱的周期为T′，根据开普勒第三定律知，$\frac{（3{R}_{m}）^{3}}{{T}^{2}}=\frac{（2{R}_{m}）^{3}}{T{′}^{2}}$，
则有：$T{′}^{2}=\frac{8}{27}{T}^{2}$，
则停留时间△t=nT-T′=$（n-\sqrt{\frac{8}{27}}）（6π{R}_{m}）\sqrt{\frac{3{R}_{m}}{GM}}$，n=1，2，3…．
答：（1）登月舱减速时，发动机做了$-\frac{GM{m}_{1}}{12{R}_{m}}$的功．
（2）登月舱在月球表面可逗留时间为$（n-\sqrt{\frac{8}{27}}）（6π{R}_{m}）\sqrt{\frac{3{R}_{m}}{GM}}$，n=1，2，3…．

点评 本题考查了万有引力定律、开普勒第三定律、能量守恒的综合运用，结合万有引力提供向心力求出动能和周期是解决本题的关键．