Question

4．如图所示，竖直放置的光滑金属导轨，两轨间距为L，导轨足够长．上端接有阻值为R的电阻，其它电阻忽略不计，整个装置处于方向垂直导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度为B．现使质量为m、电阻为r的金属杆贴着导轨让其从AB位静止起下落，下落过程杆与导轨始终保持良好接触，当杆下落到CD位置时杆开始做匀速运动．已知杆从AB位置到CD位置的过程中，电阻R产生的焦耳热为Q，求：
（1）金属杆做匀速运动的速度．
（2）位置AB到CD的高度差h．

Answer 1

分析 （1）金属杆做匀速运动时安培力与重力二力平衡，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式推导出安培力与速度的关系，再由平衡条件求出速度．
（2）根据能量守恒定律求解位置AB到CD的高度差h．

解答 解：（1）设金属杆匀速运动的速度为v．
则金属杆产生的感应电动势：E=BLv
 感应电流 I=$\frac{E}{R+r}$
根据平衡条件得：mg=BIL
联立解得 v=$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）杆从AB位置到CD位置的过程中，电阻R产生的焦耳热为Q，则金属杆产生的焦耳热 Q′=$\frac{r}{R}Q$
根据能量守恒定律得
  mgh=Q+Q′+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 h=$\frac{（R+r）Q}{mgR}$+$\frac{{m}^{2}g（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$
答：
（1）金属杆做匀速运动的速度是$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）位置AB到CD的高度差h是$\frac{（R+r）Q}{mgR}$+$\frac{{m}^{2}g（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题关键要正确分析导体棒的受力情况，熟练运用法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式，推导出安培力的表达式，再由平衡条件研究．