Question

3．登上火星是人类的梦想，我国计划于2020年登陆火星，已知火星的质量为地球质量的q倍，动能为地球动能的p倍，火星和地球绕太阳的公转均视为匀速圆周运动，则火星与地球的（　　）

• A． 线速度大小之比为$\sqrt{q}$：$\sqrt{p}$
• B． 轨道半径之比为p：q
• C． 运行周期之比为q：p
• D． 向心加速度大小之比为p²：q²

Answer 1

分析 根据动能的定义式即可求出线速度的关系，由万有引力提供向心力即可求出半径的关系以及周期、向心加速度的关系．

解答 解：A、根据动能的定义式：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，所以：v=$\sqrt{\frac{2{E}_{k}}{m}}$
所以：$\frac{{v}_{火}}{{v}_{地}}=\sqrt{\frac{{E}_{火}}{{E}_{地}}}•\sqrt{\frac{{m}_{地}}{{m}_{火}}}=\sqrt{p}•\sqrt{\frac{1}{q}}$=$\sqrt{\frac{p}{q}}$．故A错误；
B、根据万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：$r=\frac{{v}^{2}}{GM}$
G是引力常量，M为太阳的质量，所以：$\frac{{r}_{火}}{{r}_{地}}=\frac{{v}_{火}^{2}}{{v}_{地}^{2}}=\frac{p}{q}$．故B正确；
C、根据万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，得：
T=2π $\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
所以运行周期之比为：$\frac{{T}_{火}}{{T}_{地}}=\sqrt{（\frac{{r}_{火}}{{r}_{地}}）^{3}}=（\frac{p}{q}）^{\frac{3}{2}}$．故C错误；
D、据万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=ma，得：
$a=\frac{GM}{{r}^{2}}$
所以：$\frac{{a}_{火}}{{a}_{地}}=（\frac{{r}_{地}}{{r}_{火}}）^{2}=\frac{{q}^{2}}{{p}^{2}}$．故D错误．
故选：B

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道周期与轨道半径的关系，基础题．