Question

3．如图，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将质量为m的带电小球B用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处．图中AC=BC=h，初始时丝线BC静止在与竖直方向夹角θ=37°的位置，改变B的带电量使丝线BC静止在与竖直方向夹角为53°的位置．已知重力加速度为g．求：
（1）B球的重力势能变化量；
（2）B球初、末带电量之比．

Answer 1

分析 B球的重力势能变化量等于前后两位置处的重力势能的差．
根据几何关系和余弦定理分别计算出前后两次AB之间的距离．根据平衡条件得电场力与重力的关系，当B电量变化时，根据力的合成与分解，依据相似三角形之比，即可求解．

解答 解：（1）B球的重力势能变化量等于前后两位置处的重力势能的差，即
△E_p=E_pt-E_po=$mg△h=mgh（cos{37°}-cos{53°}）=\frac{1}{5}mgh$；  

（2）根据几何关系和余弦定理可得前后两次AB之间的距离分别为：${r_1}=\sqrt{{h^2}+{h^2}-2h•h•cos{37°}}=\sqrt{\frac{2}{5}}h$，
${r_2}=\sqrt{{h^2}+{h^2}-2h•h•cos{53°}}=\sqrt{\frac{4}{5}}h$，
设A球带电量为Q，A、B球之间的距离为r，
则θ=37°时，根据相似三角形可得：$\frac{mg}{h}=\frac{T}{h}=\frac{F_库}{r}=\frac{{k\frac{{Q{q_1}}}{{{r_1}^2}}}}{r_1}$，
则θ=53°时，根据相似三角形可得：$\frac{mg}{h}=\frac{T}{h}=\frac{F_库}{r}=\frac{{k\frac{{Q{q_2}}}{{{r_2}^2}}}}{r_2}$，
则：$\frac{q_1}{q_2}=\frac{{{r_1}^3}}{{{r_2}^3}}={（{\frac{1}{{\sqrt{2}}}}）^3}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$．
答：（1）B球的重力势能变化量为$\frac{1}{5}mgh$；
（2）B球初、末带电量之比为$\frac{1}{2\sqrt{2}}$．

点评 考查受力分析，掌握力的合成与分解的方法，理解相似三角形的边长间比与力之间比的关系，是解题的关键．