Question

如图所示的竖直平面内有范围足够大，水平向左的匀强电场，在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一绝缘轨道由两段直杆和一半径为R的半圆环组成，固定在纸面所在的竖直平面内，PQ、MN水平且足够长，半圆环MAP的磁场边界左侧，P、M点在磁场边界线上．现在有一质量为m、带电荷量为+q的中间开孔的小环穿在MN杆上，可沿轨道运动，它所受电场力为重力的

3

4

倍．不计一切摩擦．现将小球从M点右侧的D点由静止释放，DM间距离x₀=3R．
（1）求小球第一次通过与O等高的A点时的速度v_A大小，及半圆环对小球作用力N的大小；
（2）小球的半圆环所能达到的最大动能E_k．

Answer 1

分析：（1）选择D到A作为研究过程，运用动能定理求出A点的速度，根据牛顿第二定律，沿半径方向上合力提供向心力，求出弯杆对小环作用力的大小．
（2）当小球所受的电场力与重力的合力方向与速度方向垂直，即沿轨道半径向外时，小球的动能达到最大，根据力的合成，求出合力与竖直方向的夹角，根据动能定理求出最大动能E_k．

解答：解：（1）小球在A点时的速度为v_A，从D至A点过程，由动能定理得
  qE（x₀+R）-mgR-

1

2

m

v

2 A

-0
解得v_A=2

gR

设小球在A点时所受半圆环轨道的作用力大小为N，
由牛顿第二定律得
    N-qv_AB-qE=

m v 2 A

R

解得  N=2qB

gR

+

19

4

mg
（2）小球所受重力和电场力合力与竖直方向夹角为θ，tanθ=

qE

mg

=

3

4

，所以θ=37°．
设小球在圆环上C位置时速度做大，则此位置OC与竖直夹角为37°．
D至C过程，据动能定理有：
   qE（x₀+Rsin37°）-mgR（1-cos37°）=E_K-0
得最大动能E_k=2.5mgR
答：（1）小球第一次通过与O等高的A点时的速度v_A大小是2

gR

，及圆环对小球作用力N的大小是2qB

gR

+

19

4

mg；
（2）小球的半圆环所能达到的最大动能E_k是2.5mgR．

点评：运用动能定理解题需合适地选取研究的过程，根据动能定理列出表达式求解．本题可与单摆运动类比，找到小环动能最大的位置．