如图所示.一质量m=1kg的小物块从A点以大小v0=4m/s的初速度沿切线进入光滑圆轨道AB.经圆弧轨道后滑上与B点等高.静止在粗糙水平面的长木板上.圆弧轨道B端切线水平．已知长木板的质量M=1kg.A.B两点的竖直高度为h=1.0m.AO与BO之间夹角θ=37°.小物块与长木板之间的动摩擦因数μ1=0.5.长木板与地面间的动摩擦因数μ2=0.2.sin37� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

6．

如图所示，一质量m=1kg的小物块（可视为质点）从A点以大小v₀=4m/s的初速度沿切线进入光滑圆轨道AB，经圆弧轨道后滑上与B点等高、静止在粗糙水平面的长木板上，圆弧轨道B端切线水平．已知长木板的质量M=1kg，A、B两点的竖直高度为h=1.0m，AO与BO之间夹角θ=37°，小物块与长木板之间的动摩擦因数μ₁=0.5，长木板与地面间的动摩擦因数μ₂=0.2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小物块滑动至B点瞬时，对圆弧轨道B点的压力；
（2）长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板？

分析（1）根据动能定理计算B点速度，在B点，轨道支持力和重力的合力提供圆周运动的向心力，据此求解即可；
（2）根据物块在长木板上滑动时，物块的位移-长木板的位移应该小于等于长木板的长度这一临界条件展开讨论即可；

解答解：（1）小物块沿圆弧轨道从A点到B点应用动能定理：
$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
由数学关系有：h=R（1-cosθ）
设在B点圆轨道对小物块支持力大小为F，
则有：$F-mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
故：F=17.2N
由牛顿第三定律可知，小物块对圆轨道的压力大小为17.2N，方向竖直向下
（2）小物块在木板上先减速，木板加速，直到获得共同速度v，然后一起减速至0．设获得共同速度之前运动时间为t₁，物块和木板加速度大小分别为a₁、a₂，各自运动距离为${x}_{1}^{\;}$、${x}_{2}^{\;}$．对物块：
${μ}_{1}^{\;}mg=m{a}_{1}^{\;}$
$v={v}_{1}^{\;}-{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
${x}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}+v}{2}{t}_{1}^{\;}$
对木板：${μ}_{1}^{\;}mg-{μ}_{2}^{\;}（M+m）g=M{a}_{2}^{\;}$
$v={a}_{2}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
${x}_{2}^{\;}=\frac{v}{2}{t}_{1}^{\;}$
木板最小长度$L={x}_{1}^{\;}-{x}_{2}^{\;}$
综合以上各式：L=3m；${t}_{1}^{\;}=1s$
答：（1）小物块滑动至B点瞬时，对圆弧轨道B点的压力为17.2N；
（2）长木板至少为3m，才能保证小物块不滑出长木板

点评本题是多过程运动的题目，要对每个物体分别分析其运动情况，利用运动学的基本公式，再根据速度和位移的关系及牛顿第二定律求解．本题运动过程较为复杂，难度较大．

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