Question

如图所示，足够长的斜面与水平面的夹角为θ=53°，空间中自下而上依次分布着垂直斜面向下的匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、…n，相邻两个磁场的间距均为d=0.5m．一边长L=0.1m、质量m=0.5kg、电阻R=0.2Ω的正方形导线框放在斜面的顶端，导线框的下边距离磁场I的上边界为d₀=0.4m，导线框与斜面间的动摩擦因数μ=0.5．将导线框由静止释放，导线框在每个磁场区域中均做匀速直线运动．已知重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（1）导线框进入磁场 I 时的速度；
（2）磁场 I 的磁感应强度B₁；
（3）磁场区域n的磁感应强度B_n与B₁的函数关系．

Answer 1

分析：（1）对线框研究，运用动能定理求出导线框进入磁场 I 时的速度．
（2）线框进入磁场后受重力、支持力、安培力和摩擦力，根据共点力平衡，结合闭合电路欧姆定律、切割产生的感应电动势公式求出磁感应强度的大小．
（3）线框在相邻两个磁场之间加速的距离均为（d-L）=d₀，根据动能定理求出线框进入第n个磁场时的速度，结合共点力平衡，知在每个磁场中所受的安培力均相等，从而求出磁感应强度的表达式．

解答：解：（1）线框从静止开始运动至刚进入磁场I时，以线框为研究对象，由动能定理有：(mgsinθ-μmgcosθ)?d0=

1

2

mv12-0…①
解①并代入数据得：
v₁=2m/s…②
（2）线框在磁场I中匀速运动，由法拉第电磁感应定律：E₁=B₁Lv₁…③
由闭合电路欧姆定律：I1=

E1

R

…④
线框受到安培力：F₁=B₁I₁L…⑤
由平衡条件有：mgsinθ-μmgcosθ-F₁=0…⑥
联解①②③④⑤并代入数据得：B₁=5T…⑦
（3）线框在相邻两个磁场之间加速的距离均为（d-L）=d₀，故线框由静止开始运动至刚进入第n个磁场时，由动能定理：n(mgsinθ-μmgcosθ)?d0=

1

2

mvn2-0…⑧
又由③④⑤得线框在第一个磁场I中受到的安培力：F1=

B12L2v1

R

…⑨
线框在第n个磁场受到的安培力：Fn=

Bn2L2vn

R

…⑩
线框在每个磁场区域中均作匀速直线运动，受到的安培力均相等：F_n=F₁…（11）
联解⑨⑩（11）（12）得：Bn=

B1

4 n

…（12）
答：（1）导线框进入磁场 I 时的速度为2m/s．
（2）磁场 I 的磁感应强度为5T．
（3）磁场区域n的磁感应强度B_n与B₁的函数关系为Bn=

B1

4 n

．

点评：本题考查了动能定理、闭合电路欧姆定律、共点力平衡、电磁感应等知识点，综合性较强，对学生的能力要求较高，要加强这方面的训练．