Question

7．一通信卫星“静止”在赤道上空的某一点，它的运动周期与地球自转周期相同，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球自转周期为T，求：
（1）通信卫星的轨道半径；
（2）通信卫星的向心加速度．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，地球表面的物体受到的重力等于万有引力G$\frac{m′M}{{R}^{2}}$=m′g，解二方程即可得出r；
（2）依据向心加速度表达式，a_n=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，即可求解．

解答 解：
（1）根据万有引力提供向心力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，
地球表面的物体受到的重力等于万有引力G$\frac{m′M}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：r=$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$
（2）依据向心加速度表达式，a_n=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$=$\root{3}{{\frac{{16{π^4}g{R^2}}}{T^4}}}$
答：（1）通信卫星的轨道半径$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}$；
（2）通信卫星的向心加速度$\root{3}{{\frac{{16{π^4}g{R^2}}}{T^4}}}$．

点评 对万有引力与天体的运动问题，一定要知道两个关系：①星球表面的物体受到的重力等于万有引力，②做匀速圆周运动的物体需要的向心力由万有引力提供．熟练掌握这两个关系可以解决一切天体运动的问题．