Question

17．过山车是游乐场中常见的设施，如图是一种过山车的简易模型．它由水平轨道和在竖直平面内的若干个光滑圆形轨道组成，水平轨道与圆形轨道平滑连接，A、B、C…分别是各个圆形轨道的最低点，第一圆轨道的半径R₁=2.0m，以后各个圆轨道半径均是前一轨道半径的k倍（k=0.8），相邻两最低点间的距离为两点所在圆的半径之和，一个质量m=1.0kg的物块（视为质点），从第一圆轨道的左侧沿水平轨道向右运动，经过A点时的速度v₀=12m/s，已知水平轨道与物块间的动摩擦因数μ=0.5，g取10m/s²，lg0.45=-0.347，lg0.8=-0.097，试求：

（1）物块经过第一轨道最高点时的速度大小；
（2）物块经过第二轨道最低点B时对轨道的压力大小；
（3）物块能够通过几个圆轨道？

Answer 1

分析 （1）物块在第一轨道运动的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律求出物块经过第一轨道最高点的速度大小．
（2）对A到B运用动能定理，求出到达B点时的速度，在B点重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而求出物体对轨道的压力大小．
（3）设物块能够通过n个圆轨道，对全过程运用动能定理，求出第n个轨道的半径，抓住小球经过第n个圆轨道时，在最高点有临界值，即${v}_{n}=\sqrt{g{R}_{n}}$，运用数学知识求出n的范围．

解答 解：（1）设经第一个轨道最高点的速度为v，由机械能守恒有$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mg{R}_{1}$
即有$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}-4g{R}_{1}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-4×10×2}=8m/s$
故物块经过第一轨道最高点时的速度大小为8m/s．
（2）设物块经B点时的速度为v_B，从A到B的过程由动能定理，
$-μmg（{R}_{1}+{R}_{2}）=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
对物块经B点受力分析，由向心力公式有 ${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{B}^{2}}{{R}_{2}}$
联立两式解得${F}_{N}=mg+m\frac{{v}_{0}^{2}-μg（{R}_{1}+{R}_{2}）}{{R}_{2}}$=77.5N
由牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力大小为77.5N．　　　
故物块经过第二轨道最低点B时对轨道的压力大小为77.5N．　　　　　　　
（3）设物块恰能通过第n个轨道，它通过第n个轨道的最高点时的速度为v_n，有$m\frac{{v}_{n}^{2}}{{R}_{n}}≥mg$
对物块从A到第n个轨道的最高点的全过程由动能定理得-μmg[（R₁+R₂）+（R₂+R₃）+…（R_n-1+R_n）]-2mgR_n=$\frac{1}{2}m{v}_{n}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
又因为  R_n=k^n-1R₁=0.8^n-1R₁
由以上三式可整理得v₀²-2μg[（R₁+R₂+…+R_n-1）+（R₂+R₃+…+R_n）]≥5gR_n
即${v}_{0}^{2}-μg[\frac{{R}_{1}（1-{k}^{n-1}）}{1-k}+\frac{{R}_{2}（1-{k}^{n-1}）}{1-k}]$=${v}_{0}^{2}-2μg{R}_{1}\frac{（1+k）（1-{k}^{n-1}）}{1-k}$$≥5g{R}_{1}{k}^{n-1}$
将v₀=12m/s，μ=0.5，R₁=2m，k=0.8，g=10m/s²代入上式，整理得0.8^n-1≥0.45，
即有$n-1≤\frac{lg0.45}{lg0.8}≈3.6$，解得  n≤4.6
故物块共可以通过4个圆轨道．
答：（1）物块经过第一轨道最高点时的速度8m/s
（2）物块经过第二轨道最低点B时对轨道的压力77.5N
（3）物块能够通过4个圆轨道．

点评 本题综合运用了动能定理和机械能守恒定律，运用动能定理和机械能守恒定律解题注意要合理地选择研究的过程，列表达式求解．本题第（3）问较难，对数学的要求较高．