Question

10．如图所示，相距为R的两块平行金属板M、N正对着放置，s₁、s₂分别为M、N板上的小孔，s₁、s₂、O三点共线，它们的连线垂直M、N，且s₂O=R．以O为圆心、R为半径的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场．D为收集板，收集板上各点到O点的距离以及两端点A和C的距离都为2R，板两端点的连线AC垂直M、N板．质量为m、带电量为+q的粒子，经s₁进入M、N间的电场后，通过s₂进入磁场．粒子在s₁处的速度和粒子所受的重力均不计．
（1）当M、N间的电压为U_x时，求粒子进入磁场时速度的大小v_x；
（2）要使粒子能够打在收集板上，求在M、N间所加电压的范围；
（3）若粒子恰好打在收集板D的中点上，求粒子从s₁开始运动到打在D的中点上经历的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中运动时，电场力做功引起动能变化，由动能定理v_x；
（2）粒子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出轨迹半径表达式．当粒子打在收集板D的A点时，轨迹半径最小，粒子速度最小，在M、N间所加电压最小；当粒子打在收集板D的C点时，轨迹半径最大，粒子速度最大，在M、N间所加电压最大；由几何知识求出半径，再求解电压的范围．
（3）粒子从s₁开始运动到打在D的中点上经历的时间分三段：加速电场中，由运动学平均速度法求出时间；磁场中根据时间与周期的关系求解时间；射出磁场后粒子做匀速直线运动，由速度公式求解时间，再求解总时间．

解答 解：（1）粒子从s₁到达s₂的过程中，根据动能定理得：$q{U_x}=\frac{1}{2}m{v_x}^2$
     解得：${v_x}=\sqrt{\frac{{2q{U_x}}}{m}}$
（2）粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，设此时其速度大小为v，轨道半径为r，根据牛顿第二定律得：$qvB=m\frac{v^2}{r}$
粒子在M、N之间运动，根据动能定理得：$qU=\frac{1}{2}m{v^2}$，
  联立解得：$U=\frac{{q{B^2}{r^2}}}{2m}$
当粒子打在收集板D的A点时，经历的时间最长，由几何关系可知粒子在磁场中运动的半径${r_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}R$，此时M、N间的电压最小，为${U_1}=\frac{{q{B^2}{R^2}}}{6m}$
当粒子打在收集板D的C点时，经历的时间最短，由几何关系可知粒子在磁场中运动的半径${r_2}=\sqrt{3}R$，此时M、N间的电压最大，为${U_2}=\frac{{3q{B^2}{R^2}}}{2m}$
要使粒子能够打在收集板D上，在M、N间所加电压的范围为$\frac{{q{B^2}{R^2}}}{6m}≤U≤\frac{{3q{B^2}{R^2}}}{2m}$．
（3）根据题意分析可知，当粒子打在收集板D的中点上时，根据几何关系可以求得粒子在磁场中运动的半径r₀=R，粒子进入磁场时的速度${v_0}=\frac{{qB{r_0}}}{m}$
   粒子在电场中运动的时间：${t}_{1}=\frac{R}{\frac{{v}_{0}}{2}}$
   粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期$T=\frac{{2π{r_0}}}{v_0}=\frac{2πm}{qB}$
   粒子在磁场中经历的时间${t_2}=\frac{1}{4}T$
  粒子出磁场后做匀速直线运动经历的时间${t_3}=\frac{R}{v_0}$
所以粒子从s₁运动到A点经历的时间为$t={t_1}+{t_2}+{t_3}=\frac{（6+π）m}{2qB}$
答：（1）当M、N间的电压为U_x时，粒子进入磁场时速度的大小${v_x}=\sqrt{\frac{{2q{U_x}}}{m}}$；
   （2）要使粒子能够打在收集板D上，在M、N间所加电压的范围为$\frac{{q{B^2}{R^2}}}{6m}≤U≤\frac{{3q{B^2}{R^2}}}{2m}$；
   （3）若粒子恰好打在收集板D的中点上，粒子从s₁开始运动到打在D的中点上经历的时间是$\frac{（6+π）m}{2qB}$．

点评 本题是带电粒子先经电场加速，后经磁场偏转的问题，关键是根据几何知识分析粒子在磁场运动的半径与磁场半径的关系．