Question

19．如图所示，质量为m=1kg的小滑块，从光滑、固定的$\frac{1}{4}$圆弧轨道的最高点A由静止滑下，经最低点B后滑到位于水平面的木板上．已知木板质量M=2kg，其上表面与圆弧轨道相切于B点，且长度足够长．整个过程中木板的v-t图象如图所示，g取10m/s²．求：

（1）滑块经过B点时对圆弧轨道的压力大小．
（2）滑块与木板之间的动摩擦因数．
（3）滑块在木板上滑过的距离．

Answer 1

分析 （1）滑块从A运动到B的过程，只有重力做功，根据动能定理求得滑块到达B点时的速度，在B点，由牛顿第二定律求出轨道对滑块的支持力，再由牛顿第三定律求出滑块对轨道的压力．
（2）由图象的斜率可得到木板加速运动的加速度和滑块与木板共同减速运动的加速度大小．再根据牛顿第二定律分别对木板和滑块和木板整体列式，即可求解．
（3）根据牛顿第二定律求出滑块在木板上滑行时的加速度，0-1s内，由位移公式求出滑块和木板相对于地面的位移，两者之差即为滑块在木板上滑过的距离．

解答 解：（1）滑块从A到B的过程，由动能定理得：
mgR=$\frac{1}{2}$mv²
在B点，由牛顿第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$．
解得：F_N=30N
由牛顿第三定律得滑块对轨道的压力大小为 F_N′=F_N=30N，方向竖直向下．
（2）由图象可得木板加速的加速度为：a₁=$\frac{{v}_{1}}{{t}_{1}}$=$\frac{1}{1}$=1m/s²
滑块与木板共同减速的加速度大小为：a₂=$\frac{1}{1}$=1m/s²
设木板与地面间的动摩擦因数为μ₁，滑块与木板间的动摩擦因数为μ₂．
在1～2s内，对滑块和木板整体由牛顿第二定律得：
μ₁（M+m）g=（M+m）a₂
在0～1s内，对木板，由牛顿第二定律得：
μ₂mg-μ₁（M+m）g=Ma₁
解得：μ₁=0.1　μ₂=0.5
（3）滑块在木板上滑动过程由牛顿第二定律得：
   μ₂mg=ma
解得 a=5m/s²．
由运动学公式得：v₁=v-at₁，得滑块刚滑上木板时的速度为：
v=v₁+at₁=1+5×1=6m/s
木板的位移为：x₁=$\frac{v+{v}_{1}}{2}$t₁
滑块的位移为：x₂=$\frac{v}{2}$t₁
滑块在木板上滑动的距离为：△x=x₂-x₁=$\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{1}$=$\frac{6}{2}×1$m=3m
答：（1）滑块经过B点时对圆弧轨道的压力大小是30N，方向竖直向下．
（2）滑块与木板之间的动摩擦因数是0.5．
（3）滑块在木板上滑过的距离是3m．

点评 本题的关键要理清滑块和木板的运动情况，能准确把握概念规律的使用条件，并能正确应用物理规律列式求解．对于滑块在木板上滑行过程，采用隔离法研究加速度，也可以运用动能定理研究相对位移．