题目内容

如图所示，水平轨道AB与半径为R的竖直半圆形轨道BC相切于B点．质量为2m和m的a、b两个小滑块（可视为质点）原来静止于水平轨道上，其中小滑块a与一轻弹簧相连．某一瞬间给小滑块a一冲量使其获得v0=
3
2
gR
的初速度向右冲向小滑块b，与b碰撞后弹簧不与b相粘连，且小滑块b在到达B点之前已经和弹簧分离，不计一切摩擦，求：
（1）a和b在碰撞过程中弹簧获得的最大弹性势能；
（2）小滑块b经过圆形轨道的B点时对轨道的压力；
（3）试通过计算说明小滑块b能否到达圆形轨道的最高点C．
分析：（1）碰撞过程动量守恒，当两球的速度相等时，系统损失动能最大，此时对应的弹性势能最大．
（2）当弹簧恢复原长时，b球速度最大，此时b球向右运动滑上轨道，根据动量守恒、机械能守恒以及向心力公式可求得正确结果．
（3）根据完成圆周运动的临界条件，判断b球是否能通过最高点．
解答：解：（1）a与b碰撞达到共速时弹簧被压缩至最短，弹性势能最大．设此时ab的速度为v，则由系统的动量守恒可得：
2mv0=3mv
由机械能守恒定律：
1
2
?2m
v
2
0
=
1
2
?3mv2+Epm
解得：Epm=
3
4
mgR
（2）当弹簧恢复原长时弹性势能为零，b开始离开弹簧，此时b的速度达到最大值，并以此速度在水平轨道上向前匀速运动．设此时a、b的速度分别为v1和v2，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得：
2mv0=2mv1+mv2
1
2
?2m
v
2
0
=
1
2
?2m
v
2
1
+
1
2
m
v
2
2

解得：v2=2
gR
（1分）
滑块b到达B时，根据牛顿第二定律有：N-mg=m
v
2
2
R

解得：N=5mg  
根据牛顿第三定律滑块b在B点对轨道的压力N′=5mg，方向竖直向下． 
（3）设b恰能到达最高点C点，且在C点速度为vC，此时轨道对滑块的压力为零，滑块只受重力，由牛顿第二定律：mg=m
v
2
C
R

解得：vC=
gR

再假设b能够到达最高点C点，且在C点速度为vC'，由机械能守恒定律可得：
1
2
m
v
2
2
=2mgR+
1
2
mv
′
2
C

解得：vC'=0＜
gR
．所以b不可能到达C点，假设不成立．       
答：（1）a和b在碰撞过程中弹簧获得的最大弹性势能为
3
4
mgR；
（2）小滑块b经过圆形轨道的B点时对轨道的压力为5mg；
（3）小滑块b不能到达圆形轨道的最高点C．
点评：本题综合性较强，考查了动量守恒、机械能守恒定律以及完成圆周运动的临界条件的应用，注意把运动过程分析清楚，正确应用相关定律求解．
练习册系列答案
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如图所示，水平轨道上轻弹簧左端固定，弹簧处于自然状态时，其右端位于P点，现用一质量m=0.1kg的小物块（可视为质点）将弹簧压缩后释放，物块经过P点时的速度v0=6m/s，经过水平轨道右端Q点后恰好沿半圆光滑轨道的切线进入竖直固定的圆轨道，最后物块经轨道最低点A抛出后落到B点，若物块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.15，s=4m，R=1m，A到B的竖直高度h=1.25m，取g=10m/s2．
（1）求物块到达Q点时的速度大小（保留根号）．
（2）判断物块经过Q点后能否沿圆周轨道运动．简单说明理由．
（3）若物块从A水平抛出的水平位移大小为4m，求物块在A点时对圆轨道的压力．
如图所示，水平轨道和竖直面内的光滑半圆轨道在B点连接．滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发向左运动，到B点时撤去外力，滑块恰好能通过半圆轨道最高点C，脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A．试求滑块在AB段运动过程中的加速度a的大小？
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（1）若给物块施加一水平拉力F=11N，使物块从静止开始沿轨道向右运动，到达B点时撤去拉力，物块在传送带静止情况下刚好运动到C点，求传送带的长度；
（2）在（1）问中，若将传送带绕B点逆时针旋转37°后固定（AB段和BC段仍平滑连接），要使物块仍能到达C端，则在AB段对物块施加拉力F应至少多大；
（3）若使物块以初速度v0从A点开始向右运动，并仍滑上（2）问中倾斜的传送带，且传送带以4m/s速度向上运动，要使物体仍能到达C点，求物块初速度v0至少多大．
如图所示，水平轨道PAB与
1
4
圆弧轨道BC相切于B点，其中，PA段光滑，AB段粗糙，动摩擦因数μ=0.1，AB段长度L=2m，BC段光滑，半径R=lm．轻质弹簧劲度系数k=200N/m，左端固定于P点，右端处于自由状态时位于A点．现用力推质量m=2kg的小滑块，使其缓慢压缩弹簧，当推力做功W=25J时撤去推力．已知弹簧弹性势能表达式Ek=
1
2
kx2其中，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，重力加速度取g=10m/s2．
（1）求推力撤去瞬间，滑块的加速度a；
（2）求滑块第一次到达圆弧轨道最低点B时对B点的压力Fn；
（3）判断滑块能否越过C点，如果能，求出滑块到达C点的速度vc和滑块离开C点再次回到C点所用时间t，如果不能，求出滑块能达到的最大高度h．
（2011?安徽二模）如图所示，水平轨道AB与半径为R的竖直半圆形轨道BC相切于B点．质量为2m和m的a、b两个小滑块（可视为质点）原来静止于水平轨道上，其中小滑块以与一轻弹簧相连．某一瞬间给小滑块以一冲量使其获得v0=3
gR
的初速度向右冲向小滑块b，与b碰撞后弹簧不与b相粘连，且小滑块b在到达B点之前已经和弹簧分离，不计一切摩擦，求：
（1）a和b在碰撞过程中弹簧获得的最大弹性势能；
（2）小滑块b经过圆形轨道的B点时对轨道的压力；
（3）小滑块b最终落到轨道上何处．

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