Question

如图所示，水平轨道PAB与

1

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圆弧轨道BC相切于B点，其中，PA段光滑，AB段粗糙，动摩擦因数μ=0.1，AB段长度L=2m，BC段光滑，半径R=lm．轻质弹簧劲度系数k=200N/m，左端固定于P点，右端处于自由状态时位于A点．现用力推质量m=2kg的小滑块，使其缓慢压缩弹簧，当推力做功W=25J时撤去推力．已知弹簧弹性势能表达式E_k=

1

2

kx²其中，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，重力加速度取g=10m/s²．
（1）求推力撤去瞬间，滑块的加速度a；
（2）求滑块第一次到达圆弧轨道最低点B时对B点的压力F_n；
（3）判断滑块能否越过C点，如果能，求出滑块到达C点的速度v_c和滑块离开C点再次回到C点所用时间t，如果不能，求出滑块能达到的最大高度h．

Answer 1

分析：（1）根据能量守恒求出弹簧弹性势能的大小，结合弹性势能的表达式求出弹簧的形变量，从而根据胡克定律和牛顿第二定律求出滑块的加速度．
（2）根据动能定理求出到达B点时的速度，通过牛顿第二定律求出在B点支持力的大小，从而根据牛顿第三定律求出滑块对B点的压力．
（3）根据功能关系求出到达C点时的速度，从而判断滑块能否通过C点，离开C点后做竖直上抛运动，结合运动学公式求出竖直上抛运动的时间．

解答：解：（1）推力做功全部转化为弹簧的弹性势能，则有E=E_k    ①
即：25=

1

2

×200x2
解得x=0.5m．  ②
由牛顿运动定律得a=

kx

m

=

200×0.5

2

m/s2=50m/s2     ③
（2）设滑块到达B点时的速度为v_B，由能量关系有
W-μmgL=

1

2

mvB2
解得vB2=21m2/s2   ④
对滑块，由牛顿定律得FN-mg=m

vB2

R

     ⑤
FN=mg+m

vB2

R

=20+2×

21

1

N=62N．⑥
由牛顿第三定律可知，滑块对B点的压力62N    ⑦
（3）设滑块能够到达C点，且具有速度v_c，由功能关系得
W-μmgL-mgR=

1

2

mvc2   ⑧代入数据解得
v_c=1m/s    ⑨
故滑块能够越过C点
从滑块离开C点到再次回到C点过程中，物体做匀变速运动，以向下为正方向，有
v_c=-v_c+gt     ⑩
解得t=

2vc

g

=

2

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s=0.2s     
答：（1）推力撤去瞬间，滑块的加速度为50m/s²．
（2）滑块第一次滑动圆弧轨道最低点对B点的压力为62N．
（3）滑块能够越过C点，滑块离开C点再次回到C点的时间为0.2s．

点评：本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律、运动学公式等知识，综合性较强，涉及的过程较多，是一道好题．