Question

5．在某山区高速公路修建现场，一辆正在装石料的骑车停在山坡底部，司机突然发现，在距离坡低l₀=16m的山坡上，有一石头因受震动而从静止开始以a₀=2m/s²的加速度滚下，如图所示，司机发现险情，立即启动汽车逃离，由于土石障碍的影响，汽车运动的方向在石头滚下的延伸线上．假设司机的反应时间为T=1s，启动汽车后，汽车以a₁=1m/s²的加速度作匀加速直线运动；石头在水平面上做匀减速直线运动的初速率等于它到达坡底时的速率，加速度大小a₂=2m/s²，取g=10m/s²．
（1）求石头到达坡底时的速率v及石头在山坡上运动的时间t；
（2）请通过计算后说明：汽车能否脱险？

Answer 1

分析 （1）石头做初速度为零的匀加速直线运动，根据速度位移公式求解到达坡底的速度，根据速度时间公式求出运动时间；
（2）先求出石头到达坡底时，汽车已经运动的时间，再求出石头到达坡底时，汽车运动的位移以及速度，当石头的速度等于汽车速度时，若没有相撞则以后不会相撞，根据运动学基本公式结合位移关系即可求解．

解答 解：（1）石头做初速度为零的匀加速直线运动，则有：
v²-0=2al₀
解得：v=8m/s，
在山坡上运动的时间t=$\frac{v}{a}=\frac{8}{2}=4s$
（2）石头到达坡底时，汽车已经运动的时间为t₁=t-T=3s，此时汽车运动的位移${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×1×9=4.5m$，汽车的速度v₁=a₁t₁=1×3=3m/s，
设经过时间t₂石头和汽车的速度相等，则有
v-a₂t₂=v₁+a₁t₂
即
8-2t₂=3+t₂
解得：t₂=$\frac{5}{3}$s
此过程中，石头运动的位移${x}_{2}={vt}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}=\frac{95}{9}m$，
汽车运动的位移${x}_{3}={{v}_{1}t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{2}}^{2}=\frac{115}{18}m$
因为${x}_{2}{-x}_{3}=\frac{95}{9}-\frac{115}{18}=\frac{75}{18}m=4.17m＜4.5m$，所以汽车能脱险．
答：（1）求石头到达坡底时的速率v为8m/s，石头在山坡上运动的时间t为4s；
（2）汽车能脱险．

点评 本题主要考查了匀变速直线运动的速度位移公式和速度时间公式的直接应用，关键是知道当石头的速度等于汽车速度时，若没有相撞则以后不会相撞，难度适中