Question

16．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内有场强大小为E、沿x轴正方向的匀强电场，垂直x轴放置一荧光屏．在第二象限内有一圆形（虚线）匀强磁场区域，磁场区域的边界与x轴相切于点P（-2L，0），磁场方向垂直纸面向里．在P点置一放射源，在纸面内以相等的速率v沿各个方向发射电子，电子的质量为m、电荷量为e，不计重力．当电子的速度方向沿y轴正方向，经过磁场后，电子通过y轴上的点Q（0，L）垂直y轴进入第一象限．
（1）求磁场磁感应强度的大小．
（2）要使进入电场的电子能打在荧光屏上，求荧光屏离坐标原点的最远距离．
（3）当电子速度方向与x轴正方向的夹角为θ时（0°＜θ＜90°），求电子从射入磁场到最终离开磁场的时间．

Answer 1

分析 （1）电子在磁场中做匀速圆周运动．洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出磁感应强度．
（2）电子在电场中做匀减速直线运动，电子速度为零时的位移是荧光屏的最远距离，应用动能定理可以求出最远距离．
（3）分析清楚电子的运动过程，求出电阻在电场与磁场中的运动时间，然后求出电子总的运动时间．

解答 解：（1）电子的速度方向沿y轴正方向，经过磁场后，电子通过y轴上的点Q（0，L）垂直y轴进入第一象限，则电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为L．
由牛顿第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，
解得：B=$\frac{mv}{eL}$；
（2）电子在电场中做减速运动，由动能定理得：
-eEx=0-$\frac{1}{2}$mv²，
解得：x=$\frac{m{v}^{2}}{2eE}$；
（3）电子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πL}{v}$，
设磁场圆心为O₁，如图所示，当电子的速度方向沿y轴正方向时，电子从Q′点射出磁场，
则O₁、Q′、Q在同一直线上，且平行于x轴，由几何知识可知，磁场钣金R=L．
设当电子速度方向与x轴正方向夹角为θ时，电子从磁场中的N₁点射出，圆周运动的圆心为M₁，
因磁场圆和电子的轨迹圆的半径相等，PO₁N₁M₁是菱形，则电子射出方向与x轴平行，
电子由P到N₁所对应的圆心角为θ，电子的运动时间：t₁=$\frac{θ}{2π}$T，
电子在磁场和电场之间做匀速直线运动，运动距离：x=2L-Lsinθ，
往返运动的时间：t₂=$\frac{2x}{v}$，
电子在电场中做匀变速直线运动，加速度：a=$\frac{eE}{m}$，往返运动时间：t₃=$\frac{2v}{a}$，
电子由N₁点第2次进入磁场，由N₂点射出，圆周运动的圆心为M₂，N₁O₁N₂M₂是菱形，
P、O₁、N₂在同一直线上，且平行于y轴，电子由N1到N2所对应的圆心角为π-θ，运动时间为：t₄=$\frac{π-θ}{2π}$T，
电子从射入磁场到最终离开磁场的时间：t=t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac{（4+π-2sinθ）L}{v}$+$\frac{2mv}{eE}$；
答：（1）磁场磁感应强度的大小．
（2）要使进入电场的电子能打在荧光屏上，求荧光屏离坐标原点的最远距离．
（3）当电子速度方向与x轴正方向的夹角为θ时（0°＜θ＜90°），求电子从射入磁场到最终离开磁场的时间

点评 本题考查带电粒子在磁场和电场中的运动，要注意电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹对应的圆心角等于速度的偏向角．电子在电场中做匀变速直线运动，分析清楚电子的运动过程，作出电子运动轨迹，应用牛顿第二定律与运动学公式可以解题，解题时注意几何知识的应用．