Question

16．如图甲所示是游乐场中过山车的实物图片，可将过山车的一部分运动简化为图乙的模型图．模型图中光滑圆形轨道的半径R=8.0m，该光滑圆形轨道固定在倾角为θ=37°的斜轨道面上的Q点，圆形轨道的最高点A与倾斜轨道上的P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间平滑连接．现使质量为m=50kg的小车（视作质点）从P点以一定的初速度v₀=12m/s沿斜面向下运动，不计空气阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．若小车恰好能通过圆形轨道的最高点A．
（1）小车在A点的速度为多大？
（2）小车在圆形轨道上运动时对轨道的最大压力为多少？
（3）求斜轨道面与小车间的动摩擦因数为多大？

Answer 1

分析 （1）小车恰好能通过圆形轨道的最高点A处，轨道对小车的弹力为零，由重力提供小车圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律求出小车在A点的速度．
（2）根据动能定理或机械能守恒求出小车在轨道B点是的速度，再运用牛顿第二定律，通过支持力和重力的合力提供向心力，求出支持力，由牛顿第三定律得到压力．
（3）对P到A全过程运用动能定理，重力做功为零，根据几何关系求出在斜面上的位移，通过动能定理求出动摩擦因数．

解答 解：（1）由于小车恰能通过A点，由重力提供小车圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律得：
  mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：v_A=$\sqrt{gR}$=4$\sqrt{5}$ m/s．①
（2）如图，小车经轨道最低点D时对轨道压力最大．设在D点轨道对小车的支持力为N
则有：N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$②
小车由D到A的运动过程机械能守恒
则有：2mgR=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$ ③
由①②③得：N=6mg．
由牛顿第三定律，在D点小车对轨道的压力N′=N=6mg=3000N．
（3）设PQ距离为L，对小车由P到A的过程应用动能定理
得：-μmgLcos37°=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$④
由几何关系：L=$\frac{R+Rcos37°}{sin37°}$⑤
由①④⑤得：μ=$\frac{1}{6}$．
答：
（1）小车在A点的速度为4$\sqrt{5}$m/s．
（2）小车在圆形轨道运动时对轨道的最大压力为6mg．
（3）斜轨道面与小车间的动摩擦因数是$\frac{1}{6}$．

点评 本题综合考查了牛顿第二定律和动能定理，关键是理清运动的过程，运用合适的规律进行求解．