Question

17．体育课上同学们进行了一项抛球入框游戏，球框（框壁厚忽略不计）紧靠竖直墙壁放在水平地面上，如图所示，某同学将球（可视为质点）正对竖直墙壁水平抛出并投入框中，球框高度和球框左侧壁离墙壁的距离均为L=0.4m，球的抛出点离地面的高度H=1.2m，离墙壁的水平距d=2.0m，球与墙壁碰撞前后瞬间速度大小相等，方向关于墙壁对称，求：g=10m/s²，空气阻力不计，求：
（1）为使球落入框中，球抛出时的最小速度；
（2）为使球落入框中，球与墙壁碰撞的最高点离地面的高度；
（3）若水平抛出的高度可以任意调整，为让小球入框口时的动能最小，则球水平抛出时的高度．

Answer 1

分析 （1）考虑临界情况，速度最小时恰好落在框的左上角，结合平抛运动的分位移公式列式求解初速度；
（2）球与墙壁碰撞类似于光的反射，具有对称性，根据平抛运动的规律和对称性求解；
（3）为让小球入框口时的动能最小，抛到框的左上角，结合平抛运动的分运动公式列式，再结合机械能守恒定律列式，联立得到入框口时的动能的表达式进行分析即可．

解答 解：（1）设球抛出时的最小速度为v，运动到框左侧上边缘的时间为t，则
H-L=$\frac{1}{2}$gt²
d-L=vt
联立解得：
$v=（d-L）\sqrt{\frac{g}{2（H-L）}}=（2-0.4）×\sqrt{\frac{10}{2×（1.2-0.4）}}m/s=4m/s$
（2）设球与墙壁碰撞的最高点离地面的高度为h_max，运动到墙壁的时间为t′，反弹到左上角的时间为t，根据平抛运动的分位移公式，由对称关系有：
d+L=v_maxt
H-L=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：v_max=6m/s
从抛出到碰撞到墙壁过程，有：
v_maxt′=d
h_max=H-$\frac{1}{2}$g t′²
联立解得：h_max=1.2-$\frac{5}{9}$m≈0.64m
（3）设从y高度抛出，抛出到框的左上角，根据平抛运动的分运动公式，有：
y-L=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
d-L=v₀t
解得：${v_0}=（d-L）\sqrt{\frac{g}{2（y-L）}}$
以地面为参考面，根据机械能守恒定律，有：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgy={E}_{k}+mgL$
联立解得：${E_k}=\frac{6.4m}{y-0.4}+10m（y-0.4）≥2\sqrt{\frac{6.4m}{y-0.4}}\sqrt{10m（y-0.4）}=16m$
当$\sqrt{\frac{6.4m}{y-0.4}}=\sqrt{10m（y-0.4）}$，即y=1.2m时取最小值；
答：（1）为使球落入框中，球抛出时的最小速度为4m/s；
（2）为使球落入框中，球与墙壁碰撞的最高点离地面的高度为0.64m；
（3）若水平抛出的高度可以任意调整，为让小球入框口时的动能最小，则球水平抛出时的高度为1.2m．

点评 本题要掌握平抛运动的处理方法：运动的分解法，将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，掌握运动学公式解题，关键抓住碰撞过程的对称性，理清两个方向的分位移．