Question

3．2007年10月24日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”从西昌卫星发射中心发射升空，11月26日，中国第一幅月图完美亮相，中国首次月球探测工程取得圆满成功．我国将在2017年前后发射一颗返回式月球软着陆器，进行首次月球样品自动取样并安全返回地球．假设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的M点，并沿水平方向以初速度v₀抛出一个质量为m的小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点N，斜面的倾角为α，已知月球半径为R，月球的质量分布均匀，万有引力常量为G，求：
（1）月球表面的重力加速度g′；
（2）人造卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度．

Answer 1

分析 （1）小球做平抛运动，结合水平位移和竖直位移的关系，求出月球表面的重力加速度．
（2）当人造卫星贴近月球表面做匀速圆周运动时，速度最大，结合重力提供向心力求出最大速度．

解答 解：（1）在水平方向上有：v₀t=Lcosα，
竖直方向上有：$\frac{1}{2}g′{t}^{2}=Lsinα$，
联立解得：$g′=\frac{2{v}_{0}tanα}{t}$．
（2）根据$mg′=m\frac{{v}^{2}}{R}$，人造卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度为：
v=$\sqrt{g′R}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanα}{t}}$．
答：（1）月球表面的重力加速度为$\frac{2{v}_{0}tanα}{t}$．
（2）人造卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度为$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanα}{t}}$．

点评 本题考查了万有引力定律理论与平抛运动的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合平抛运动求出月球表面的重力加速度是关键．