Question

8．如图所示，轻质半圆AB和轻杆BC处在同一竖直平面内，半圆直径为d，A、B在同一竖直线上，A、B、C三处均用铰接连接，其中A、C两点在同一水平面上，BC杆与水平面夹角为30°．一个质量为m的小球穿在BC杆上，并静止在BC杆底端C处，不计一切摩擦．现在对小球施加一个水平向左的恒力F=$\sqrt{3}$mg，则当小球运动到BC杆的中点时，它的速度大小为$\sqrt{2gd}$，此时AB杆对B处铰链的作用力大小为mg．

Answer 1

分析 小球的速度根据动能定理求解．对于半圆AB，由于重力不计，只受两个力而处于平衡状态，这两个必定共线，从而确定出AB半圆对BC杆作用力方向，由力矩平衡条件求解AB杆对B处铰链的作用力大小．

解答 解：根据数学知识知，AC=dcot30°=$\sqrt{3}$d，BC=2d
小球从C到BC中点的过程，由动能定理得：
   F•$\frac{1}{2}$AC-mg$•\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
将F=$\sqrt{3}$mg代入解得，v=$\sqrt{2gd}$
据题知半圆AB是轻质的，重力不计，只受两个力而处于平衡状态，这两个必定共线，B处铰链对AB杆的作用力必定竖直向下，因此AB杆对B处铰链的作用力竖直向上，大小设为N．
对于BC杆，以C点为转动轴，由力矩平衡得：N•AC=（mgcos30°+Fsin30°）•$\frac{1}{2}•$BC
代入解得 N=mg
故答案为：$\sqrt{2gd}$，mg．

点评 解决本题的关键是确定AB杆对B处铰链的作用力方向，要知道AB杆是典型的二力杆，平衡时二力必共线．