Question

15．我国发射的宇宙飞船成功地将宇航员送入太空并安全返回．如果把载人飞船绕地球运行看作是同一轨道上的匀速圆周运动，宇航员测得自己绕地心做匀速圆周运动的周期为T、距地面的高度为H，且已知地球半径为R，引力恒量为G．据此：
（1）计算地球的密度；
（2）计算飞船线速度的大小；
（3）推导第一宇宙速度v₁的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力求出地球的质量，再依据密度公式，即可求解；
（2）根据万有引力提供向心力即可求解．
（3）第一宇宙速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，重力等于万有引力，引力等于向心力，列式求解．

解答 解：（1）根据G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m（R+H）$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，
地球的质量M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$．
根据密度表达式，ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π（R+H）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
（2）根据圆周运动线速度定义，则有：
飞船的线速度v=$\frac{2π（R+H）}{T}$；
（3）恰能离开地球表面做圆周运动：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$；
联立解得：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{G×\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}}{R}}$=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{{T}^{2}R}}$．
答：（1）计算地球的密度$\frac{3π（R+H）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（2）计算飞船线速度的大小$\frac{2π（R+H）}{T}$；
（3）推导第一宇宙速度v₁的表达式$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{{T}^{2}R}}$．

点评 卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解，注意轨道半径与星球半径的区别．