Question

20．宇航员站在某一星球距离表面h高度处，以初速度v₀沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球表面的重力加速度为$\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$，该星球的质量为$\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$，小球落地时的速度大小为$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{4{h}_{\;}^{2}}{{t}_{\;}^{2}}}$．

Answer 1

分析 （1）小球在星球表面做平抛运动，其加速度等于该星球表面的重力加速度g，根据平抛运动的规律列式求g．
（2）根据物体的重力等于万有引力，列式求该星球的质量．
（3）平抛运动水平方向的分运动是匀速直线运动，竖直方向的分运动是自由落体运动，求出物体落地时水平和竖直两个方向的分速度，再进行合成．

解答 解：根据$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
解得：$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
星球表面重力等于万有引力：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
星球质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
竖直方向的速度${v}_{y}^{\;}=gt=\frac{2h}{t}$
小球落地时的速度大小$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{4{h}_{\;}^{2}}{{t}_{\;}^{2}}}$
故答案为：$\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$        $\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$          $\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{4{h}_{\;}^{2}}{{t}_{\;}^{2}}}$

点评 本题是万有引力与平抛运动的综合，要抓住平抛运动的加速度就等于重力加速度，能熟练运用运动的分解法处理平抛运动，根据万有引力等于重力求天体的质量．