Question

10．已知绕中心天体做匀速圆周运动的星体的轨道半径r，运动周期为T，
（1）中心天体的质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）若中心天体的半径为R，则其平均密度ρ=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（3）若星体在中心天体表面附近做匀速圆周运动，则其平均密度ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．

Answer 1

分析 根据万有引力提供圆周运动向心力求得中心天体的质量，根据密度公式计算中心天体的平均密度，在星体表面做圆周运动时轨道半径与天体半径相等．

解答 解：（1）根据万有引力提供圆周运动向心力有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得中心天体的质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）根据密度公式可知，中心天体的平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
（3）当星体在中心天体附近匀速圆周运动时有r=R，所以中心天体的平均密度ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
故答案为：$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，$\frac{3π}{G{T}^{2}}$

点评 万有引力提供圆周运动向心力是解决本题的关键入手点，注意球体的体积公式和密度公式．