题目内容

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（1）A、B相碰后瞬间的共同速度的大小；
（2）A、B相碰前弹簧具有的弹性势能；
（3）若在斜面顶端再连接一光滑的半径R=x0的半圆轨道PQ，圆轨道与斜面最高点P相切，现让物块A以多大初速度从P点沿斜面下滑，才能使A与B碰后在斜面与圆弧间做往复运动？

分析 （1）A球下滑3x0与B球碰撞前的过程，只有重力做功，A球的机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求得碰撞前A的速度；A与B球碰撞过程中，遵守动量守恒，可列式动量守恒方程求得A、B相碰后瞬间的共同速度的大小；
（2）碰后，A、B和弹簧组成的系统在运动过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律列出方程，结合第1问的结果，即可求解A、B相碰前弹簧的具有的弹性势能；
（3）该问中A下滑的过程以及与B碰撞的过程与（1）、（2）问相似，碰后到最高点的过程中机械能守恒，从P点进入圆轨道后还能往复运动，则AB最多运动到圆心等高处D点速度为零，列出相应的公式，即可求解．

解答 解：（1）A与B球碰撞前后，A球的速度分别是v1和v2，因A球滑下过程中，机械能守恒，则有：
    mg（3x0）sin30°=$\frac{1}{2}$mv12 
解得：v1=$\sqrt{3g{x}_{0}}$
又因A与B球碰撞过程中，动量守恒，取沿斜面向下为正方向，则有：mv1=2mv2
联立得：v2=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3g{x}_{0}}$
（2）碰后，A、B和弹簧组成的系统在运动过程中，机械能守恒．则有：
  EP+$\frac{1}{2}$•2mv22=0+2mg•x0sin30°
解得：EP=2mg•x0sin30°-$\frac{1}{2}$•2mv22=mgx0-$\frac{3}{4}$mgx0=$\frac{1}{4}$mgx0
（3）设物块在P点初速度为v0，A从P到与B相碰前：机械能守恒，则有
    $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mg•3x0sin30°=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得 vA=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+3g{x}_{0}}$
AB相碰，动量守恒，设碰后速度为v．取沿斜面向下为正方向，则
    mvA=2mv
解得 v=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+3g{x}_{0}}$
AB相碰后与弹簧系统至AB运动到P点，能量守恒，则有
 $\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$+Ep=2mg•3x0sin30°+$\frac{1}{2}•2m{v}_{P}^{2}$
解得  vP2=$\frac{1}{4}{v}_{0}^{2}$-2gx0．
从P点进入圆轨道后还能往复运动，则AB最多运动到圆心等高处D点速度为零，即
  0＜$\frac{1}{2}•2m{v}_{P}^{2}$≤2mgRcos30°
解得 $\sqrt{8g{x}_{0}}$＜v0≤$\sqrt{4（2+\sqrt{3}）g{x}_{0}}$
答：
（1）A、B相碰后瞬间的共同速度的大小为$\frac{1}{2}\sqrt{3g{x}_{0}}$．
（2）A、B相碰前弹簧具有的弹性势能为$\frac{1}{4}$mgx0．
（3）让物块A以$\sqrt{8g{x}_{0}}$＜v0≤$\sqrt{4（2+\sqrt{3}）g{x}_{0}}$的初速度从P点沿斜面下滑，才能使A与B碰后在斜面与圆弧间做往复运动．

点评 分析清楚物体运动过程、抓住碰撞时弹簧的压缩量与A、B到达P点时弹簧的伸长量相等，弹簧势能相等是关键，应用机械能守恒定律、动量守恒定律即可正确解题．

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