Question

3．如图所示，固定的绝热气缸内有一质量为m的“T”型绝热活塞（体积可忽略），距气缸底部h₀处连接一U形管（管内气体的体积忽略不计）．初始时，封闭气体温度为T₀，活塞距离气缸底部为1.5h₀，两边水银柱存在高度差．已知水银的密度为ρ，大气压强为p₀，气缸横截面积为s，活塞竖直部分长为1.2h₀，重力加速度为g．试问：
（1）初始时，水银柱两液面高度差多大？
（2）缓慢降低气体温度，两水银面相平时温度是多少？
（3）让温度回复到T₀，保持温度不变，在活塞上加上一个质量也是m的重物，求稳定后活塞离底部的高度是多少？

Answer 1

分析 （1）根据活塞平衡求得气体压强，再根据水银柱高度差求出气体压强表达式，联立得到高度差；
（2）等压变化，根据盖-吕萨克定律求解出温度
（3）温度保持原来的．则气体做等温变化，玻意尔定律得 p₁ V₁=p₂ V₂，讨论得到高度

解答 解：（1）选取活塞为研究对象，对其受力分析并根据平衡条件有
p₀s+mg=ps         ①
可得被封闭气体压强      p=p₀+$\frac{mg}{S}$        ②
设初始时水银柱两液面高度差为h，则被封闭气体压强
p=p₀+ρgh           ③
联立以上两式可得，初始时液面高度差为
h=$\frac{m}{ρS}$                   
（2）降低温度直至液面相平的过程中，被封闭气体先等压变化，后等容变化．
初状态：p₁=p₀+mg/s，V₁=1.5h₀S，T₁=T₀；
末状态：p₂=p₀，V₂=1.2h₀s，T₂=？
根据理想气体状态方程有   $\frac{{{p_1}{V_1}}}{T_1}=\frac{{{p_2}{V_2}}}{T_2}$
代入数据，可得${T_2}=\frac{{4{p_0}{T_0}S}}{{5{p_0}S+5mg}}$⑥
（3）温度保持原来的．则气体做等温变化
p₁=p₀+$\frac{mg}{S}$，V₁=1.5h₀S，
p₂=p₀+2$\frac{mg}{S}$，V₂=hS，
玻意尔定律得   p₁ V₁=p₂ V₂
得           $h=\frac{{3（{p_0}s+mg）}}{{2（{p_0}s+2mg）}}{h_0}$
讨论：如果$h=\frac{{3（{p_0}s+mg）}}{{2（{p_0}s+2mg）}}{h_0}≤1.2{h_0}$
即$m≥\frac{{{p_0}s}}{3g}$
则          h=1.2h₀                              
如果   $m＜\frac{{{p_0}s}}{3g}$则$h=\frac{{3（{p_0}s+mg）}}{{2（{p_0}s+2mg）}}{h_0}$
答：（1）初始时，水银柱两液面高度差$\frac{m}{ρS}$（2）缓慢降低气体温度，两水银面相平时温度${T_2}=\frac{{4{p_0}{T_0}S}}{{5{p_0}S+5mg}}$
（3）让温度回复到T₀，保持温度不变，在活塞上加上一个质量也是m的重物，求稳定后活塞离底部的高度是$m≥\frac{{{p_0}s}}{3g}$
则 h=1.2h₀
如果 $m＜\frac{{{p_0}s}}{3g}$则$h=\frac{{3（{p_0}s+mg）}}{{2（{p_0}s+2mg）}}{h_0}$

点评 本题关键求出气体压强，然后根据等压变化公式列式求解，难度较大．