Question

如图，一光滑轨道ABC，AB部分为半径为L的

1

4

圆周，水平部分BC 宽度为L，置于水平向右且大小为E的匀强电场中．一质量为m，电量q=

mg

2E

的带正电小球（可视为质点）从A处静止释放，并从C处沿平行板电容器的中线射入．已知电容器板长L，两板距离为L，重力加速度g．
（1）求小球经过圆弧B处轨道所受压力及小球到达C处的速度v_c；
（2）当电容器两板间电压U=

mgL

2q

，且上板电势高于下板时，求球在电容器中飞行时的加速度a以及飞离电容器时的偏转量y；
（3）若电容器电压U可变，要使小球能飞出电容器，求U的范围．（写主要过程）

Answer 1

分析：（1）小球从A到B过程只有重力做功，机械能守恒，根据守恒定律列式求解到B点速度，然后根据牛顿第二定律求解支持力；
（2）将小球的运动沿着水平和竖直方向正交分解，水平分运动为匀速直线运动，竖直分运动是匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求解加速度，然后根据分运动位移公式列式求解；
（3）求解出恰好从上边缘飞出和恰好从下边缘飞出的加速度，然后根据牛顿第二定律列式求解．

解答：解：（1）从A到B，由机械能守恒：mgL=

1

2

m

v

2 B

   …①
在B处，由向心力公式有：N-mg=m

v 2 B

L

…②
解得：N=3mg
由牛顿第三定律，轨道所受压力N′=3mg，方向竖直向下    
从A到C，由动能定理：mgL+qEL=

1

2

m

v

2 C

…③
解得：vC=

3gL

（2）由牛顿第二定律：mg+

qU

L

=ma  得a=1.5g（向下）…④
小球在电容器中飞行时间t=

L

vC

…⑤
飞离时偏转量y=

1

2

at2…⑥
联立③～⑥得：y=

1

4

L                            
（3）由⑥知当y=

1

2

L时，有a=3g                                
当a向下，且上板电势高于下板时
有mg+

qU1

L

=ma      得U1=

2mgL

q

=4EL                 
当a向上，有上板电势低于下板
即

qU2

L

-mg=ma      得U2=

4mgL

q

=8EL
即小球能飞出电容器，必须有：
当上板电势高于下板时，U＜4EL
或者当上板电势低于下板时，U＜8EL        
答：（1）小球经过圆弧B处轨道所受压力为3mg，小球到达C处的速度为

3gL

；
（2）当电容器两板间电压U=

mgL

2q

，且上板电势高于下板时，球在电容器中飞行时的加速度a为1.5g，飞离电容器时的偏转量y为

1

4

L；
（3）若电容器电压U可变，要使小球能飞出电容器，必须有：当上板电势高于下板时，U＜4EL；或者当上板电势低于下板时，U＜8EL．

点评：本题关键是明确小球的运动规律，找出临界状态，然后根据机械能守恒定律、牛顿第二定律、匀类似平抛运动规律等列式求解．