Question

2．已知某星球的质量是地球质量的81倍，半径是地球半径的9倍，在地球上发射一颗卫星，其第一宇宙速度为7.9km/s，
（1）该星球表面重力加速度为多少？
（2）在该星球上发射一颗人造卫星，其发射速度最小是多少？

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力表示出星球表面重力加速度进行求解；第一宇宙速度是卫星绕星近表面速度，根据地球对卫星的万有引力提供向心力求解．

解答 解：（1）地球表面：$m{g}_{地}^{\;}=G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}①$
在星球表面：$m{g}_{星}^{\;}=G\frac{{M}_{星}^{\;}m}{{R}_{星}^{2}}$②
联立①②：$\frac{{g}_{星}^{\;}}{{g}_{地}^{\;}}=\frac{{M}_{星}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{2}}{{R}_{星}^{2}}=\frac{81}{1}•\frac{1}{81}=1$
解得：${g}_{星}^{\;}={g}_{地}^{\;}=10m/{s}_{\;}^{2}$
（2）对于地球的近地卫星，由万有引力提供向心力，则有$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{地}^{\;}}$③
对于星球的近地卫星，由万有引力提供向心力，则有$G\frac{{M}_{星}^{\;}m}{{R}_{星}^{2}}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{星}^{\;}}$④
联立③④得：$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{星}^{\;}}\frac{{R}_{星}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}=\sqrt{\frac{1}{81}×\frac{9}{1}}=\frac{1}{3}$
所以${v}_{2}^{\;}=3{v}_{1}^{\;}=23.7km/s$
答：（1）该星球表面重力加速度为$10m/{s}_{\;}^{2}$
（2）在该星球上发射一颗人造卫星，其发射速度最小是23.7km/s

点评 本题是卫星类型问题，关键是要建立物理模型，运用万有引力定律和向心力知识，加上数学变换来求解．