Question

14．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以20m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5s后警车发动起来，并以一定的加速度做匀加速运动，但警车行驶的最大速度是30m/s．警车发动后刚好用17.5s的时间追上货车，问：
（1）警车追上货车时，警车的位移多大？
（2）警车启动后做匀加速运动的加速度多大？
（3）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？

Answer 1

分析 （1）警车追上货车时的位移就等于货车的位移，根据速度时间关系求解即可．
（2）货车做匀速直线运动，由位移公式求出货车在5s后警车发动的时间内通过的位移．设警车一直做匀加速运动，直到17.5s内追上货车，由位移关系求出警车的加速度，由速度公式求出此时警车的速度，与其最大速度比较，发现超过最大速度，说明警车是先做匀加速直线运动，达到最大速度30m/s后做匀速直线运动，再由位移关系求出警车启动时的加速度．
（3）开始阶段，货车的速度大于警车的速度，两者距离越来越大；当警车的大于货车速度时，两者距离越来越小．说明当两者速度相等时，最大距离最大．由位移关系求出最大距离．

解答 解：（1）警车追上货车时的位移就等于货车整个过程中的位移，即为：
x_警=x_货=v_货（t+t₀）=20×（17.5+5）m=450m；
（2）因为警车在匀加速运动过程中的平均速度为：
$\overline{v}=\frac{0+{v}_{m}}{2}=\frac{0+30}{2}m/s=15m/s＜{v}_{货}$
故警车在匀加速运动过程中追不上货车，令其加速运动的时间为t′则匀速运动时间为t-t′据位移关系有：
${x}_{警}=\frac{1}{2}at{′}^{2}+{v}_{m}（t-t′）$
又v_m=at′
由以上两式代入数据可解得：a=6m/s²
（3）警车追上前两车速度相等时相距最远，据速度时间关系有此过程经历的时间为：t″=$\frac{{v}_{货}}{a}=\frac{15}{6}s=2.5s$
此过程中货车位移为：x_货=v_货（t″+t₀）=20×（2.5+5）m=150m
警车的位移为：${x}_{警}=\frac{1}{2}at{″}^{2}=\frac{1}{2}×6×2．{5}^{2}m=18.75m$
所以两车相距最大距离为：△x=150-18.75m=131.25m
答：（1）警车追上货车时，警车的位移为450m；
（2）警车启动后做匀加速运动的加速度为6m/s²；
（3）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是131.25m．

点评 相遇问题主要从位移关系入手，相遇前相距最远的临界条件是两车速度相等，掌握匀变速直线运动的位移时间关系和速度时间关系是正确解题的基础．