Question

7．如图所示，AB为光滑的水平轨道，BC为光滑的半径为R可以任意调节的竖直半圆轨道，二者在同一竖直水平面内相切于B点，一个质量为m的小球以初速度v₀从水平轨道进入圆轨道，重力加速度为g，求：
（1）小球经过B点时对轨道的压力；
（2）欲使小球能够通过C点，求R的取值范围；
（3）小球通过C点后做平抛运动，R为多少时小球在水平轨道的落点与B相距最远，最远距离为多少？

Answer 1

分析 （1）小球经过B点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨道对小球小球的支持力，再由牛顿第三定律得到小球对轨道的压力．
（2）研究小球从B运动到C的过程，根据动能定理求出C点速度表达式，在C点，临界情况是轨道对小球没有作用力，由重力提供向心力，由牛顿第二定律列式得到C点的速度表达式，再联立即可求解．
（3）小球通过C点后做平抛运动，根据平抛运动的规律得到水平距离与R的关系式，运用数学知识求解．

解答 解：（1）设小球经过B点时轨道对小球的支持力为F_N，则
  F_N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
即得 F_N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由牛顿第三定律可知，小球经过B点时对轨道的压力为  F_N′=F_N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）设小球经过最高点C的速度为v_C．小球从B到C的过程中，由动能定理得
-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
而小球恰好能通过最高点C时的速度为v，则有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
小球能过C点必须满足 v_C≥v
联立解得 R≤$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$
（3）由（2）可知，小球过最高点时速度为 v_C=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-4gR}$
小球通过C点后做平抛运动，设水平位移为s，运动时间为t，则
  s=v_Ct
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得 s=$\sqrt{\frac{4{v}_{0}^{2}}{g}R-16{R}^{2}}$
根式下为二次函数，因为$\frac{{v}_{0}^{2}}{8g}$＜$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$，所以当且仅当 R=$\frac{{v}_{0}^{2}}{8g}$时 s有最大值，且最大值为 s_max=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
答：（1）小球经过B点时对轨道的压力是mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$；
（2）欲使小球能够通过C点，R的取值范围是R≤$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$；
（3）小球通过C点后做平抛运动，R为$\frac{{v}_{0}^{2}}{8g}$时小球在水平轨道的落点与B相距最远，最远距离为$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$．

点评 本题关键是明确小球的运动情况，然后分过程运用牛顿运动定律、动能定理或机械能守恒定律、平抛运动的分位移公式列式求解．