Question

6．如图，在竖直平面内由$\frac{1}{4}$圆弧AB和$\frac{1}{2}$圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为$\frac{R}{2}$．一小球在A点正上方与A相距$\frac{R}{4}$的O点由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动，重力加速度为g．
（1）假设A点所在水平面为零势能面，分别求小球在O点和B点时的重力势能的值．
（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．

Answer 1

分析 （1）假设A点所在水平面为零势能面，小球在O点时的重力势能为正值，在B点的重力势能为负值，由E_p=mgh求解．
（2）假设小球能到达C点，由机械能守恒定律求出小球到达C点的速度，与临界速度比较，即可判断小球能否到C点．

解答 解：（1）假设A点所在水平面为零势能面，小球在O点时的重力势能为：
E_PO=mg•$\frac{R}{4}$=$\frac{mgR}{4}$
在B点的重力势能为：E_PO=-mgR
（2）若假设小球能运动到C点，设到达C点时速率为v，轨道对小球的弹力为N，根据向心力得：
mg+N=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{R}{2}}$
 又因为N≥0，所以得 v≥$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$…①
又根据机械能守恒得：mg$\frac{R}{4}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
 则v=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$…②
由①②比较知假设成立，即小球能沿轨道运动到C点．
答：（1）小球在O点和B点时的重力势能的值分别为$\frac{mgR}{4}$和-mgR．
（2）小球能沿轨道运动到C点．

点评 分析清楚小球的运动过程，把握圆周运动最高点临界速度的求法：重力等于向心力，同时要熟练运用机械能守恒定律．要注意重力势能的相对性，当物体在零势能面下方时，重力势能是负值．