Question

16．如图1所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L₀、M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略．让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．

（1）由b向a方向看到的装置如图2所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图并说明电流的方向；
（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；
（3）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．

Answer 1

分析 （1）金属杆先沿导轨向下做加速度减小的变加速运动，后做匀速运动，速度达到最大值，此时金属杆受到重力、支持力与安培力；
（2）金属杆在加速下滑过程中，根据法拉第电磁感应定律，结合闭合电路欧姆定律，可求出感应电流的大小，再与安培力表达式，并由牛顿第二定律求解加速度大小．
（3）金属杆从静止开始至达到最大速度时，加速度等于零，因此根据上式，即可求解；

解答 解：（1）棒切割磁感线，从而产生感应电流，出现安培力，因此受到重力、支持力与安培力作用，受力分析如图示：

（2）当ab杆速度为v时，感应电动势E=BLv，
此时电路电流
$I=\frac{E}{R}=\frac{BLv}{R}$
ab杆受到安培力$F=BIL=\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R}$
根据牛顿运动定律，有
$mgsinθ-F=mgsinθ-\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R}=ma$
加速度 $a=gsinθ-\frac{{{B^2}{L^2}v}}{mR}$
（3）当a=0 即 $\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R}=mgsinθ$时，ab杆达到最大速度
${v_m}=\frac{mgRsinθ}{{{B^2}{L^2}}}$，
答：（1）受力分析如图所示；
（2）此时ab杆中的电流及其加速度的大小为gsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$
（3）在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值为$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$

点评 本题的关键是会推导安培力的表达式，根据平衡条件、牛顿第二定律和能量守恒研究电磁感应现象，常规题，注意本题最大的特点就是物理量没有数据，因此特别注意过程的运算，这是解题的关键．