题目内容

如图所示，倾角θ=30°、长L=2.7m的斜面，底端与一个光滑的1/4圆弧平滑连接，圆弧底端切线水平．一个质量为m=1kg的质点从斜面最高点A沿斜面下滑，经过斜面底端B恰好到达圆弧最高点C，又从圆弧滑回，能上升到斜面上的D点，再由D点由斜面下滑沿圆弧上升，再滑回，这样往复运动，最后停在B点．已知质点与斜面间的动摩擦因数为μ=
3
/6，g=10m/s2，假设质点经过斜面与圆弧平滑连接处速率不变．求：
（1）质点第1次经过B点时对圆弧轨道的压力；
（2）质点从A到D的过程中质点下降的高度；
（3）质点从开始到第6次经过B点的过程中因与斜面摩擦而产生的热量．
分析：（1）根据动能定理求出质点第一次到达B点的速度，结合牛顿第二定律和第三定律求出质点对圆弧轨道的压力．
（2）对AB段和BD段分别运用动能定理，求出BD的长度，从而得出质点从A到D的过程中质点下降的高度．
（3）分别对上滑过程和下滑过程运用动能定理，得出上滑的位移与下滑的位移的关系，从而找出规律，得出质点在斜面上运动的路程，通过Q=fs求出产生的热量．
解答：解：（1）设圆弧的半径为R，则质点从C到B过程，由
mgR=
1
2
mυ2
FN-mg=m
υ2
R

得：FN=3mg=3×1×10N=30N  
根据牛顿第三定律，质点第1次经过B点对圆弧轨道的压力为30N．
（2）设质点第一次由B点沿斜面上滑的速度为υ1，B点到D点的距离为L1
mgLsin30o-μmgcos30oL=
1
2
m
υ
2
1
-mgL1sin30o-μmgcos30oL1=0-
1
2
m
υ
2
1

代入数据解得：L1=
1
3
L=0.9m  
则质点从A点到D点下降的高度h=0.9m  
（3）设质点第2次由B点沿斜面上滑的速度为υ2，沿斜面上滑的距离为L2．则
mgL1sin30o-μmgcos30oL1=
1
2
m
υ
2
2
-mgL2sin30o-μmgcos30oL2=0-
1
2
m
υ
2
2

得：L2=
1
3
L1
同理可推得：质点第n次由B点沿斜面上滑的距离Ln为Ln=
1
3
Ln-1=(
1
3
)nL
所以质点从开始到第6次经过B点的过程中，在斜面上通过的路程为
S=L+2（L1+L2）=5.1m  
Q=μmgcos30°S=12.75J   
答：（1）质点第1次经过B点时对圆弧轨道的压力为30N．
（2）质点从A到D的过程中质点下降的高度为0.9m．
（3）质点从开始到第6次经过B点的过程中因与斜面摩擦而产生的热量为12.75J．
点评：本题考查了考查了动能定理和牛顿第二定律，综合性较强，难度中等，关键是理清运动过程，选择合适的过程运用动能定理进行求解．
练习册系列答案
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（1）在被第二颗子弹击中前，木块沿斜面向上运动离A点的最大距离？
（2）木块在斜面上最多能被多少颗子弹击中？
（3）在木块从C点开始运动到最终离开斜面的过程中，子弹、木块和斜面一系统所产生的热能是多少？

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