Question

如图所示，倾角θ=37°的固定斜面AB长L=18.4m，质量为M=1kg的木块由斜面中点C从静止开始下滑，0.5s后被一颗质量为m=20g的子弹以v₀=500m/s沿斜面向上的速度正对射入并穿出，穿出速度u=200m/s．以后每隔1.0s就有一颗子弹射入木块，设子弹射穿木块的时间极短，且每次射入木块对子弹的阻力相同．已知木块与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，g取10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80，求：
（1）在被第二颗子弹击中前，木块沿斜面向上运动离A点的最大距离？
（2）木块在斜面上最多能被多少颗子弹击中？
（3）在木块从C点开始运动到最终离开斜面的过程中，子弹、木块和斜面一系统所产生的热能是多少？

Answer 1

分析：（1）由牛顿第二定律可求得木块下滑的加速度，由位移公式即可求得下滑的位移及末速度；由动量守恒定律可求得木块穿过木块的速度，由运动学公式可求得木块向上运动离A点的距离；
（2）当滑块滑出斜面后子弹就不再打中木块，由运动学过程可以分析有几块子弹打中木块；
（3）由功能关系可得出子弹穿过木块时内能的增加量，再求出摩擦力做功增加的内能，即可求出总的内能的增加量．

解答：解：（1）木块下滑时加速度为a₁，根据牛顿第二定律，有：
a1=

Mgsinθ-μMgcosθ

M

=g(sinθ-μcosθ)=4m/s2
木块下滑0.5s时速度为v₁，根据速度时间关系公式，有：
v₁=a₁t₁=4×0.5=2.0m/s
木块下滑的距离为：
s1=

1

2

a1t12=0.5m
子弹穿出木块后，木块速度v₂，根据动量守恒定律，有：
mv₀-Mv₁=mu+Mv₂
解得：v2=

m(v0-u)-Mv1

M

=4m/s
木块上滑时加速度为a₂，根据牛顿第二定律，有：
a2=

Mgsinθ+μMgcosθ

M

=g(sinθ+μcosθ)=8m/s2
木块上滑的距离为：s2=

v22

2a2

=1.0m
在被第二颗子弹击中前，木块沿斜面向上运动离A点的最大距离d=

L

2

-s1+s2=9.7m
（2）木块上滑的时间t2=

v2

a2

=0.5s
因为子弹射入木块的时间间隔△t=1.0s，所以木块上滑1.0m后再下滑，0.5s后子弹射又入木块，以后的运动重复：每次木块上滑1.0m后再下滑0.5m，第18颗子弹穿射木块后，木块上滑1.0m后再下滑0.5m时离A点的距离17.7m，离B点的距离0.7m，第19颗子弹射穿木块后，木块沿斜面上滑到离开斜面，木块在斜面上最多能被19颗子弹击中．
（3）每次子弹穿射木块，产生的热能相同，根据能量守恒定律，有：
E1=(

1

2

Mv12+

1

2

mv02)-(

1

2

mu2+

1

2

Mv22)=2094J
每次木块下滑0.5m产生的热能E₂=μMgcosθs₁=1J
每次木块上滑1.0m产生的热能E₃=μMgcosθs₂=2J
第19颗子弹射穿木块后，木块沿斜面上滑到离开斜面产生的热能E₄=μMgcosθ×0.7=1.4J
子弹、木块和斜面一系统所产生的总热能是：
E_总=19E₁+19E₂+18E₃+E₄=19×2094+19×1+18×2+1.4=39842.4J
答：（1）在被第二颗子弹击中前，木块沿斜面向上运动离A点的最大距离为9.7m；
（2）木块在斜面上最多能被19颗子弹击中；
（3）在木块从C点开始运动到最终离开斜面的过程中，子弹、木块和斜面系统所产生的热能是39842.4J．

点评：本题考查动量定理、运动学公式及牛顿第二定律等，属于较为复杂的综合题，此类问题要注意认真分析题意，分析各过程中．物体的运动情况，从而确定正确的物理规律．