Question

18．如图所示，光滑半圆轨道竖直放置，半径为R，一水平轨道与圆轨道相切，在水平光滑轨道上停着一个质量为M=0.99kg的木块，一颗质量为m=0.01kg的子弹，以v₀=400m/s的水平速度射入木块中，然后一起滑向轨道．（g取10m/s²）求：
（1）碰后子弹射入木块后共同的速度为多大
（2）当轨道半径R为多大时，木块和子弹恰好通过轨道最高点？
（3）当圆轨道半径R多大时，子弹和物块平抛的水平距离最大，最大值多少？

Answer 1

分析 对子弹和木块应用动量守恒定律求出共同速度，对子弹、木块由水平轨道到最高点应用机械能守恒定律，取水平面为零势能面，求出木块到最高点时的速度，由平抛运动的基本规律表示出平抛的水平距离即可求解．

解答 解：（1）设碰后共同速度v₁，对子弹和木块组成的系统由动量守恒定律可列：mv₀=（m+M）v₁…①
代入数据解得：v₁=4m/s
（2）对子弹，木块由水平轨道到最高点应用机械能守恒定律，取水平地面为零势面，设最高点速度为v₂有：
$\frac{1}{2}（m+M）{v_1}^2=\frac{1}{2}（m+M）{v_2}$²+（m+M）g•2R…②
又由木块和子弹恰好通过最高点，可知，在最高点满足：（M+m）g=（M+m）$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$…③
联立②③并代入数据得：R=0.32m   
（3）由平抛运动规律有：2R=$\frac{1}{2}g{t^2}$…④
x=v₂t…⑤
联立②④⑤得：x=4$\sqrt{\frac{{-10{R^2}+4R}}{10}}$
由函数关系知，当R=0.2m时平抛水平距离最大，最大值为：x_max=0.8m
答：（1）碰后子弹射入木块后共同的速度为4m/s；
（2）当轨道半径R为0.32m时，木块和子弹恰好通过轨道最高点；
（3）当圆轨道半径R为0.2m时，子弹和物块平抛的水平距离最大，最大值0.8m．

点评 对于圆周运动，常常是机械能守恒定律或动能定理与牛顿定律的综合．子弹射击木块过程，基本的规律是动量守恒．