Question

18．如图所示，电阻不计的两光滑平行金属导轨相距L=1m，PM、QN部分水平放置在绝缘桌面上，半径a=0.9m的光滑金属半圆导轨处在竖直平面内，且分别在M、N处平滑相切，PQ左端与R=2Ω的电阻连接．一质量为m=1kg、电阻r=1Ω的金属棒放在导轨上的PQ处并与两导轨始终垂直．整个装置处于磁感应强度大小B=1T、方向竖直向上的匀强磁场中，g取10m/s²．求：
（1）若金属棒以v=3m/s速度在水平轨道上向右匀速运动，求该过程中棒受到的安培力大小；
（2）若金属棒恰好能通过轨道最高点CD处，求棒通过CD处时棒两端的电压；
（3）设L_PM=L_QN=3m，若金属棒从PQ处以3m/s匀速率沿着轨道运动，且棒沿半圆轨道部分运动时，回路中产生随时间按余弦规律变化的感应电流，求棒从PQ运动到CD的过程中，电路中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求的感应电动势，在求出感应电流，由F=BIL求的安培力；
（2）由牛顿第二定律求的CD处的速度，由闭合电路的欧姆定律求的CD电压；
（3）求出在水平部分和圆弧部分产生的感应电动势，由$\frac{{E}^{2}}{{R}_{总}}t$求的产生的焦耳热

解答 解：（1）产生的感应电动势为：E=BLv
形成的感应电流为：I=$\frac{E}{R+r}=\frac{BLv}{R+r}$
受到的安培力为：F=BIL
联立解得：F=1N             
（2）在最高点CD处，有：
$mg=\frac{m{v}^{2}}{a}$
解得：v₂=3m/s               
E=BLv₂=3V
${U}_{CD}=\frac{E}{R+r}R=2V$
（3）在水平轨道上，有：E=BLv
${Q}_{1}=\frac{（BLv）^{2}}{R+r}{t}_{1}=3J$
在半圆轨道上，感应电动势最大值为：
E_m=Blv=3V
${Q}_{2}=\frac{（\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}）^{2}}{R+r}{t}_{2}$=$\frac{{（\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}）}^{2}}{R+r}•\frac{πa}{v}=0.45π$ J=1.41J            
Q=Q₁+Q₂=3+1.41J=4.41J
答（1）该过程中棒受到的安培力大小为1N；
（2）棒通过CD处时棒两端的电压为2V；
（3）电路中产生的焦耳热为4.41J．

点评 本题是电磁感应与力学、交变电流的综合，要明确导体棒恰好能通过轨道最高点CD处的临界条件，把握在半圆轨道上产生的感应电流规律，知道对于交变电流，必须用有效值求热量．