Question

14．已知某星球的质量和半径均为地球质量和半径的6倍；地球的半径为r，地球表面的重力加速度大小为g；忽略地球和该星球的自转，且不计其他星球的影响，则该星球的第一宇宙速度大小为（　　）

• A． v=$\sqrt{gr}$
• B． v=$\sqrt{\frac{gr}{6}}$
• C． v=$\frac{gr}{6}$
• D． 以上 不对

Answer 1

分析 第一宇宙速度是卫星绕天体表面附近做圆周运动的线速度，根据万有引力提供向心力列式求解．

解答 解：设地球质量为m，半径为r，表面的重力加速度为g，某星球的质量为m_l，半径为r₁，表面的重力加速度为g₁，
根据：G$\frac{mm′}{{r}^{2}}$=m′g
有：g=$\frac{Gm}{{r}^{2}}$
同理，g₁=$\frac{G{m}_{1}}{{r}_{1}^{2}}$
所以：$\frac{{g}_{1}}{g}$=$\frac{{m}_{1}}{m}$$•\frac{{r}^{2}}{{r}_{1}^{2}}$=$\frac{1}{6}$
解得：g₁=$\frac{1}{6}$g  
设该星球第一宇宙速度为v₁，由m′g₁=m′$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
得 v₁=$\sqrt{{g}_{1}{r}_{1}}$=$\sqrt{\frac{1}{6}g•6r}$=$\sqrt{gr}$
故选：A．

点评 本题是卫星类型问题，关键是要建立物理模型，运用万有引力等于向心力，万有引力等于重力列式，再加上数学变换来求解．