Question

3．一架飞机沿南北方向的航线在A、B两地上空飞行，设A、B两地相距为L，飞机相对空气的速度恒为v，空气相对地面的速度恒为u，风向偏离南北方向30°角，已知v＞u．飞机在A、B两地上空往返一次所需要的时间为$\frac{L\sqrt{4{v}^{2}-{u}^{2}}}{{v}^{2}-{u}^{2}}$．

Answer 1

分析 根据平行四边形定则分别求出往返的速度大小，结合位移的大小求出往返的总时间．

解答 解：如下图，此即题设的速度矢量合成：
设由B→A速度为v₁，反之v₂，
由图示知，sinα=$\frac{usin30°}{v}=\frac{u}{2v}$，
cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}=\sqrt{1-\frac{{u}^{2}}{4{v}^{2}}}$，
所以$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}=vcosα=\sqrt{{v}^{2}-\frac{{u}^{2}}{4}}$，
而${v}_{1}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}+ucos30°$=$\sqrt{{v}^{2}-\frac{{u}^{2}}{4}}$+ucos30°，
${v}_{2}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}-ucos30°$=$\sqrt{{v}^{2}-\frac{{u}^{2}}{4}}-ucos30°$，
来回总时间为t，有t=$\frac{L}{{v}_{1}}+\frac{L}{{v}_{2}}=L（\frac{1}{{v}_{1}}+\frac{1}{{v}_{2}}）$=$L（\frac{1}{\sqrt{{v}^{2}-\frac{{u}^{2}}{4}}+\frac{\sqrt{3}}{2}u}+\frac{1}{\sqrt{{v}^{2}-\frac{{u}^{2}}{4}}-\frac{\sqrt{3}}{2}μ}）$=$L（\frac{2\sqrt{{v}^{2}-\frac{{u}^{2}}{4}}}{{v}^{2}-\frac{{u}^{2}}{4}-\frac{3{u}^{2}}{4}}）$=$\frac{L\sqrt{4{v}^{2}-{u}^{2}}}{{v}^{2}-{u}^{2}}$．
故答案为：$\frac{L\sqrt{4{v}^{2}-{u}^{2}}}{{v}^{2}-{u}^{2}}$．

点评 本题考查了匀速直线运动位移公式的运用，难点在于速度的合成，得出往返时合速度的大小．