Question

6．如图所示，一块质量为M的匀质木板放在足够长的光滑水平桌面上，初始时速度为零．板的最左端有一个质量为m的物块，物块与板间的动摩擦因数为μ，物块上连接一根足够长的细绳，细绳跨过位于桌面边缘的定滑轮，某人以恒定速度v向下匀速拉绳，绳子对物块的拉力保持水平，物块最多只能向右到达板的中点，且此时板的右端尚未到达桌边的定滑轮．求：
（1）物块与木板相对滑动的过程中，物块受到的摩擦力和木板运动的加速度；
（2）求木板的长度是多少？
（3）若物块在木板最左端时，给木板一个水平向左的初速度v₀，为使木板与物块能脱离，v₀应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）由滑动摩擦力公式求出滑动摩擦力，由牛顿第二定律求出加速度．
（2）当二者达到共同速度时，物块恰好滑动到板的中央，应用匀变速直线运动的位移公式可以求出板的长度．
（3）当两者速度相等而物块恰好到达板的另一端时，初速度最大，应用匀变速运动规律求出初速度，然后分析答题．

解答 解：（1）由于物块向右做匀速运动，对物块和木板受力分析，如图所示：

物块受到木板的摩擦力大小：f=μF_N=μN=μmg，方向水平向左．
设木板运动的加速度大小为a，由牛顿第二定律有：f=Ma，
解得：a=$\frac{μmg}{M}$，方向水平向右；
（2）木板向右做匀加速直线运动，直到速度为V，然后物块与木板相对静止向右匀速直线运动．
两者相对滑动的时间：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{Mv}{μmg}$，
设木板的长度为L，则$\frac{1}{2}$L=s_物-s_板=vt₁-$\frac{1}{2}$at₁²，解得：L=$\frac{M{v}^{2}}{μmg}$；
（3）木板先向左做匀减速直线运动，加速度大小为a，直到速度为零，
设这段时间为t₂，t₂=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{M{v}_{0}}{μmg}$，
然后木板由静止开始向右作匀加速直线运动，情况与前述相同，物块与木板的相对位移为$\frac{1}{2}$L，
所以，为了使物块与木板脱离，则在t₂时间内物块与木板的相对位移S≥$\frac{1}{2}$L．
s=vt₂+$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{2Mv{v}_{0}+M{v}_{0}^{2}}{2μmg}$≥$\frac{M{v}^{2}}{2μmg}$，解得：v₀≥（$\sqrt{2}$-1）v；
答：（1）物块与木板相对滑动的过程中，物块受到的摩擦力大小为：μmg，方向水平向左，木板运动的加速度大小为：$\frac{μmg}{M}$，方向水平向右；
（2）木板的长度是$\frac{M{v}^{2}}{μmg}$；
（3）v₀应满足的条件是：v₀≥（$\sqrt{2}$-1）v．

点评 本题考查了求摩擦力、加速度、速度、木板长度等问题，分析清楚物体运动过程是正确解题的前提与关键，应用滑动摩擦力公式、牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题．