Question

9．如图所示，在边长L=3$\sqrt{3}$dm的等边三角形abc的外接圆区域内有平行于纸面的匀强电场，将质量m=2×10^-13kg，电量q=+1×10^-10C的点电荷从a点以相等的速率沿不同方向射出时可到达圆上的不同位置，其中电荷到达b点时动能最大，其动能增量为△E_k=8.1×10^-10J．若将该点以某一初速度v₀沿ac方向从a点射出时恰通过b点，现撤去电场并在该圆形区域内加上垂直于纸面的匀强磁场时，仍让该点电荷从a点沿ac方向以v₀射出时也能通过b点．求：
（1）匀强电场的场强E；
（2）匀强磁场的磁感应强度B；
（3）点电荷在匀强磁场和匀强电场中运动的时间之比．

Answer 1

分析 （1）因为粒子到达b点时动能最大，电场力做功最大，b点电势最低，先分析出场强的方向，再根据动能定理求出场强E；
（2）电荷沿ac方向射入电场时做类平抛运动，根据运动学公式求出${v}_{0}^{\;}$，换成磁场后，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系求出半径，再由洛伦兹力提供向心力得出半径公式，即可求出B；
（3）由几何关系求出圆心角，根据$t=\frac{θ}{360°}T$，求出在磁场中的时间，即可求出比值

解答 解：（1）由于电场力做功与路径无关，且点电荷从a点沿不同方向射出时到达b点时动能最大，说明在圆周上b点的电势最低，则过b点所作外接圆的切线为b点的等势线，又因为电场线总是与等势面相垂直，且由高等势面指向低等势面，故图中的Ob方向即为场强方向
设外接圆半径为R，由几何关系知L=2Rcos30°  ①，
由功能关系知$△{E}_{k}^{\;}=Eq（R+Rsin30°）$②，
解得：R=0.3m，E=18N/C
（2）电荷沿ac方向射入时在电场中恰做类平抛运动，由$Rcos30°={v}_{0}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
$R+Rsin30°=\frac{1}{2}\frac{Eq}{m}{t}_{1}^{2}$
得${t}_{1}^{\;}=0.01s$，${v}_{0}^{\;}=15\sqrt{3}m/s$
换成磁场后仍过ab两点，则圆心在ab的垂直平分线上，同时圆心还应在过a点垂直于ac的直线上，如图中的${O}_{1}^{\;}$点，由左手定则知磁感应强度方向垂直纸面向下，由几何关系可知其圆周运动的轨道半径r=R
又电荷做圆周运动时，由$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$得$r=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$，
代入数据可得$B=\frac{\sqrt{3}}{10}T$
（3）由几何关系知电荷在磁场中运动了120°圆心角，因此对应的时间为${t}_{2}^{\;}=\frac{120°}{360°}×\frac{2πm}{qB}=\frac{4π×1{0}_{\;}^{-2}}{3\sqrt{3}}s$
于是对应的时间之比为$\frac{{t}_{2}^{\;}}{{t}_{1}^{\;}}=\frac{4π}{3\sqrt{3}}$
整理可得：$\frac{{t}_{2}^{\;}}{{t}_{1}^{\;}}=\frac{4\sqrt{3}π}{9}$
答：（1）匀强电场的场强E为18N/C；
（2）匀强磁场的磁感应强度B为$\frac{\sqrt{3}}{10}T$；
（3）点电荷在匀强磁场和匀强电场中运动的时间之比为$\frac{4\sqrt{3}π}{9}$

点评 带电粒子在电磁场中的运动要注意分析过程，并结合各过程中涉及到的运动规律采用合理的物理规律求解．