Question

（19分）如图所示，长为L的木板A静止在光滑的水平桌面上，A的左端上方放有小物体B（可视为质点），一端连在B上的细绳，绕过固定在桌子边沿的定滑轮后，另一端连在小物体C上，设法用外力使A、B静止，此时C被悬挂着。A的右端距离滑轮足够远，C距离地面足够高。已知A的质量为6m，B的质量为3m，C的质量为m。现将C物体竖直向上提高距离2L，同时撤去固定A、B的外力。再将C无初速释放，当细绳被拉直时B、C速度的大小立即变成相等，由于细绳被拉直的时间极短，此过程中重力和摩擦力的作用可以忽略不计，细绳不可伸长，且能承受足够大的拉力。最后发现B在A上相对A滑行的最大距离为。细绳始终在滑轮上，不计滑轮与细绳之间的摩擦，计算中可认为A、B之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s²。

（1）求细绳被拉直前瞬间C物体速度的大小υ₀（4分）；

（2）求细绳被拉直后瞬间B、C速度的大小υ（5分）；

（3）在题目所述情景中，只改变C物体的质量，可以使B从A上滑下来。设C的质量为km，求k至少为多大？（10分）

Answer 1

   

     答案

    （1）C做自由落体运动，下降高度为2L时的速度为v₀，       2 分           

v₀=                                                 2分

    （2）此时细绳被拉直，B、C速度的大小立即变成v，分别应用动量定理（对C忽略重力，对B忽略摩擦力）得：                                  4分           

     解得B、C速度的大小v=                                        1分

   （3）设C物体的质量为km，A、B之间的动摩擦因数为μ

    由（2）可知，细绳被拉直时B、C速度的大小=                1分

       此后B、C物体的加速度               1分

       A物体的加速度大小                             1分

       经时间t，B物体的速度                                  1分

       B物体的位移                                       1分

同样，A物体的速度                                       1分

A物体的位移                                    1分

       （i）根据题意，若k=1，当v₁=v₂ 时，x₁－x₂ =，解μ=0.4；            1分        

       （ii）要使v₁=v₂ 时，x₁－x₂ =L，利用（i）求得的动摩擦因数μ，         1分

可得k==1.29；                                            1分

            即C物体的质量至少为1.29m时，才可以使B物体从A上滑下来。

     方法二：用功能关系与运动学公式联合求解

     系统功能关系：          2分

     系统动量定理：                        2分

                                                               1分

                                                            1分

     （i）根据题意，若k=1，s_相 =，解μ=0.4；                          2分        

     （ii）要使s_相=L，利用（i）求得的动摩擦因数μ，                   

可得k==1.29；                                           2分

            即C物体的质量至少为1.29m时，才可以使B物体从A上滑下来。