Question

15．宇航员在月球上自高h处以初速度v₀水平抛出一小球，测出水平射程为L（这时月球表面可以看作是平坦的），则
（1）月球表面处的重力加速度是多大？
（2）若已知月球半径为R，要在月球上发射一颗月球卫星，发射速度至少为多大？
（3）它在月球表面附近环绕月球运行的周期是多少？

Answer 1

分析 （1）平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的知识求出月球表面的重力加速度．
（2）以最小速度发射的卫星将贴着月球的表面运行，轨道半径等于月球的半径．根据万有引力提供向心力求出最小的发射速度．
（3）由万有引力提供向心力即可求出卫星的周期．

解答 解：（1）小球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，有：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向上做匀速直线运动，有：L=v₀t
解得：$g=\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}$
（2）着陆器绕月球表面运行万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
而月球表面上的物体有$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$
解得：v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2h{{v}_{0}}^{2}R}{{L}^{2}}}=\frac{{v}_{0}}{L}\sqrt{2hR}$
（3）根据万有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
联立得：T=$\frac{2πL}{{v}_{0}}•\sqrt{\frac{R}{2h}}$
答：（1）月球表面处的重力加速度为$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}$．
（2）如果要在月球上发射一颗月球卫星，发射速度至少为$\frac{{v}_{0}}{L\;}\sqrt{2hR}$．
（3）它在月球表面附近环绕月球运行的周期是$\frac{2πL}{{v}_{0}}•\sqrt{\frac{R}{2h}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，以及万有引力提供做卫星做圆周运动的向心力．