Question

13．如图所示，真空中有一折射率n=$\sqrt{3}$、边长为a的正方形透明板ABCD，点光源S位于透明板的对角线所在的直线PP′上，且SA=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}$a．点光源S朝着AB、AD边同时射出两条光线，入射角均为i=60°，不考虑光的多次反射，最终两出射光线交CP′于S′点（未画出）．已知真空中的光速为c，sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．求：
（i）光线在透明板中传播的时间t；
（ii）S′点与C点间的距离d．

Answer 1

分析 （i）先由折射定律求出光线在AB边上的折射角，再由几何关系求光线在透明板中传播的距离，由v=$\frac{c}{n}$求出光线在透明板中传播的速度，再求光线在透明板中传播的时间t；
（ii）根据几何关系和光路可逆性原理，求S′点与C点间的距离d．

解答 解：（i）光路图如图．光线在E点折射时有 n=$\frac{sini}{sinr}$
将i=60°、n=$\sqrt{3}$代入上式解得 r=30°
根据几何知识可得：EG=$\frac{a}{cosr}$
光线在透明板中传播的速度 v=$\frac{c}{n}$
所以光线在透明板中传播的时间 t=$\frac{EG}{v}$=$\frac{na}{ccosr}$=$\frac{2a}{c}$
（ii）根据几何知识可得：
∠ESA=45°-30°=15°
∠EHA=15°
则三角形ESH是等腰三角形，EH=ES．
α=r=30°，根据光路可逆性原理，可知 β=i=60°
三角形GHS′是等腰三角形，GH=GS′．
在△ESA中，由正弦定理得
  $\frac{SA}{sin30°}$=$\frac{SE}{sin135°}$
且 SA=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}$a
解得 SE=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$a，则EH=SE=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$a
HG=EG-EH=$\frac{5\sqrt{3}-3}{12}$a
HS′=2HGcos15°=$\frac{6\sqrt{2}+\sqrt{6}}{12}$a
HC=$\sqrt{2}$a-（2EHcos15°-SA）=$\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$a
所以 d=S′C=HS′-HC=$\frac{5\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{24}$a
答：
（i）光线在透明板中传播的时间t是$\frac{2a}{c}$；
（ii）S′点与C点间的距离d是$\frac{5\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{24}$a．

点评 解决几何光学问题，首先要画出光路图，其次灵活运用几何知识求角度或距离，结合折射定律研究．