题目内容

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（1）求每一磁场区域的宽度d；
（2）若要保证电子能够从磁场右边界A2穿出，加速度电压U至少应大于多少？
（3）现撤去加速装置，使Ⅰ区域的磁感应强度变为2B，电子仍以速率v0从磁场边界AB射入，并改变射入时的方向（其它条件不变），使得电子穿过Ⅰ区域的时间最短．求电子穿过两区域的时间t．

分析 （1）电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律求出电子的轨道半径，根据电子的周期公式与电子在磁场中的运动时间求出电子在磁场中转过的圆心角，然后求出磁场区域的宽度．
（2）电子在电场中加速，在磁场中做圆周运动运动，应用动能定理与牛顿第二定律可以求出加速电压．
（3）电子在磁场中做匀速圆周运动，求出电子在两个磁场中的运动时间，然后求出总的运动时间．

解答 解：（1）电子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
$e{v_0}B=m\frac{v_0^2}{R_0}$…①
电子做圆周运动的周期：$T=\frac{{2π{R_0}}}{v_0}$…②
电子在每一磁场中运动的时间为：t1=$\frac{t}{2}=\frac{πm}{4eB}=\frac{T}{8}$…③
电子的在磁场中转过圆心角：θ=$\frac{π}{4}$ …④
磁场的宽度：d=rsin45°，
解得：$d=\frac{{\sqrt{2}m{v_0}}}{2eB}$…⑤；
（2）若电子恰好不从A2穿出磁场，电子运动轨迹应和MN相切，
在I区域中转半圈后从A1离开磁场，运动估计如图2所示：
设此时对应的电压为U，电子进入磁场时的速度为v，由牛顿第二定律得：
$evB=m\frac{v^2}{R}$…⑥
由几何知识得：R=d…⑦
在加速电场中，由动能定理得：$eU=\frac{1}{2}m{v^2}$-0…⑧
解得：$U=\frac{mv_0^2}{4e}$…⑨
（3）由于速率一定，要电子穿过I区域的时间最短，则需电子穿过I区域的弧长最短（对应的弦长最短）．运动轨迹如图3所示：
由①式，在I区域的半径：r1=$\frac{{m{v_0}}}{2eB}$…⑩
由图可知：$sinθ=\frac{d}{{2{r_1}}}$解得 θ=$\frac{π}{4}$…⑪
在I区域的运动时间：${t_1}=\frac{2θ}{2π}T=\frac{πm}{4eB}$…⑫
在II区域的半径：r2=$\frac{{m{v_0}}}{eB}$=2r1…⑬
由几何关系可知，在II区域中的圆心O2必在A2上．
如图，Φ=θ=$\frac{π}{4}$…⑭
在II区域的运动时间：${t_2}=\frac{Φ}{2π}T'=\frac{πm}{4eB}$…⑮
通过两场的总时间t=t1+t2=$\frac{πm}{2eB}$…⑯
答：（1）每一磁场区域的宽度d为$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{2eB}$；
（2）若要保证电子能够从磁场右边界A2穿出，加速度电压U至少应大于$\frac{m{v}_{0}^{2}}{4e}$；
（3）电子穿过两区域的时间t为$\frac{πm}{2eB}$．

点评 本题考查了电子在加速电场与磁场中的运动，电子在电场中加速，在磁场中做匀速圆周运动，分析清楚粒子运动过程是正确解题的关键，应用牛顿第二定律与周期公式可以解题；作出粒子运动轨迹、应用几何知识求出粒子的轨道半径是处理粒子在磁场中运动的基本解题思路与方法．

练习册系列答案
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