Question

4．如图甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径都为r=0.3m的四分之一圆弧轨道，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管（细圆管内径略大于小球的直径）轨道，分别与上下圆弧轨道相切连接，BC的长度L=0.2m．下圆弧轨道与水平轨道相切，其中D、A分别是上下圆弧轨道的最高点和最低点，整个轨道固定在竖直平面内．现有一质量M=0.3kg的小球以一定的速度沿水平轨道向右运动并从A点进入圆弧，不计小球运动中的一切阻力，g=10m/s²求：
（1）当小球由D点以10m/s的速度水平飞出时，小球落地点与D点的水平距离、由D到落地点过程中动量的变化量的大小；
（2）当小球由D点以3m/s的速度水平飞出时，小球过圆弧A点时对轨道的压力大小；
（3）若在D点右侧连接一半径为R=0.4m的半圆形光滑轨道DEF，如图乙所示，要使小球不脱离轨道运动，小球在水平轨道向右运动的速度大小范围（计算结果可用根式表示）．

Answer 1

分析 （1）小球从D点以5m/s的速度水平飞出后做平抛运动，由平抛运动的规律可求得落地点与D点的水平距离；
（2）根据机械能守恒定律可求得小球经过A点的速度，在A点，由合力提供向心力，由牛顿定律求小球过圆弧A点时对轨道的压力；
（3）要使小球不脱离轨道，则小球可能由C点返回A点，也可能超过D点后沿DEF轨道回到A点，根据临界条件和机械能守恒定律可求得初速度的范围．

解答 解：（1）小球从D点以10m/s的速度水平飞出后做平抛运动，由平抛运动规律可得：
2r+L=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
代入数据解得 t=0.4s
所以落地点与D点的水平距离 x=v_Dt=10×0.4m=4m； 
根据动量定理可得△P=Mgt=1.2Ns；
（2）由A到D的过程，由机械能守恒定律可得：Mgh+$\frac{1}{2}$Mv_D²=$\frac{1}{2}$Mv_A²
在A点，由牛顿第二定律可得：F_N-Mg=M$\frac{{v}_{A}^{2}}{r}$；
联立解得 F_N=28N
由牛顿第三定律知，小球过圆弧A点时对轨道的压力 F_N′=F_N=28N
（3）计论一：
小球进入轨道最高运动到C点，之后原路返回，由机械能守恒定律，有：
Mg（R+L）=$\frac{1}{2}$Mv₁²
得 v₁=$\sqrt{10}m/s$；
讨论二：小球进入轨道后恰好能通过圆弧最高点D，之后沿DEF运动而不脱离轨道，在D点，有
Mg=M$\frac{{v}^{2}}{R}$，其中R=0.4m
从A到D由机械能守恒定律可得：
有：Mgh+$\frac{1}{2}$Mv²=$\frac{1}{2}$Mv₂²
得 v₂=2$\sqrt{5}$m/s
所以要使小球在运动过程中能不脱离轨道，初速度大小的范围为：v₁≤$\sqrt{10}$m/s或v₂≥2$\sqrt{5}$m/s
答：（1）当小球由D点以10m/s的速度水平飞出时，小球落地点与D点的水平距离为4m、由D到落地点过程中动量的变化量的大小为1.2Ns；
（2）当小球由D点以3m/s的速度水平飞出时，小球过圆弧A点时对轨道的压力大小为28N；
（3）小球在水平轨道向右运动的速度大小范围为v₁≤$\sqrt{10}$m/s或v₂≥2$\sqrt{5}$m/s．

点评 本题考查机械能守恒定律的应用以及平抛运动规律的应用，要注意正确分析物理过程，正确进行受力分析，再通过平衡条件等选择正确的物理规律列式求解．关键要注意正确选择物理过程和规律．