Question

如图所示，竖直平面内有范围足够大、水平向左的匀强电场，在虚线左侧有垂直纸面向里水平的匀强磁场，磁场的磁感强度大小为B．一粗细均匀的绝缘轨道由两段水平且足够长的直杆PQ、MN和一半径为R的半圆环MAP组成，固定在竖直平面内，半圆环与两直杆的切点P、M恰好在磁场边界线上，轨道的NMAP段光滑，PQ段粗糙，现有一质量为m、带电荷量为+q的绝缘塑料小环套在杆MN上（环的内直径比杆的直径稍大），将小环从M点右侧距离x₀=4R的D点由静止释放，小环刚好能到达P点．试求：
（1）小环所受电场力的大小．
（2）上述过程中小环第一次通过与O点等高的A点时半圆环对小环作用力的大小．
（3）若小环与PQ间动摩擦因数为μ （设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等），现将小环移至M点右侧6R处由静止释放，求小环在整个运动过程中产生的热量．

Answer 1

分析：（1）根据动能定理，即可求解；
（2）根据动能定理，结合牛顿第二定律与洛伦兹力，即可求解；
（3）根据能量守恒定律，与动能定理相结合，即可求解；

解答：解：（1）小环刚好能到达P点，意味着小环到达P点时速度恰好为零．根据动能定理得：F-x₀=mg?2R=0
解得小环所受电场力F=0.5mg
（2）设小环第一次运动到A点时速度为v_A，根据动能定理得：
F（x₀+R）-mgR=

1

2

mv_A²
在A点小环受到的洛仑兹力f=qBv_A
根据牛顿第二定律得：F_N-f-F=

m v 2 A

R

解得：FN=3.5mg+qB

3gR

（3）若小环受到的滑动摩擦力f₀=μmg＜F，即μ＜0.5，分析可知小环经过多次往返最终到达P点时的速度为零．根据能的转化和守恒定律，得：
F?6R=mg?2R+Q
解得：Q=mgR
若小环受到的滑动摩擦力f₀=μmg≥F，即μ≥0.5，则小环运动到P点后向右做匀减速运动，一直到静止．
设小环从P点开始向右做匀减速运动的最大距离为s_m，
对整个过程应用动能定理得：F（6R-s_m）-mg?2R-μmg?s_m=0
小环在整个运动过程中产生的热量为Q=μmgs_m
联立解得：Q=

2μmgR

1+2μ

答：（1）小环所受电场力的大小0.5mg．
（2）上述过程中小环第一次通过与O点等高的A点时半圆环对小环作用力的大小：FN=3.5mg+qB

3gR

．
（3）若小环与PQ间动摩擦因数为μ （设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等），现将小环移至M点右侧6R处由静止释放，则小环在整个运动过程中产生的热量：Q=

2μmgR

1+2μ

．

点评：考查动能定理、牛顿第二定律、能量守恒定律等规律的应用，知道洛伦兹力的表达式，掌握动能定理解题的步骤及做功的正负．