Question

如图所示，竖直平面内的光滑绝缘轨道由斜面部分AB和圆弧部分BC平滑连接，且圆弧轨道半径为R，整个轨道处于水平向右的匀强电场中．一个带正电的小球（视为质点）从斜轨道上某一高度处由静止释放，沿轨道滑下（小球经过B点时无动能损失），已知小球的质量为m，电量为q，电场强度E=

mg

q

，求：
（1）小球到达圆轨道最高点C时速度的最小值？
（2）小球到达圆轨道最高点C速度最小值时，在斜面上释放小球的位置距离地面有多高？（结论可以用分数表示）

Answer 1

分析：（1）小球恰好能沿圆轨道做圆周运动时，通过C点的速度最小，等效“最高点”是电场力和重力的合力指向圆心的点，临界状态是由电场力和重力的合力给物体提供做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律求出在该点的最小速度．小球从等效最高点到C点过程，运用动能定理求解小球到达圆轨道最高点C时速度的最小值．
（2）对小球开始运动到C点的过程，由动能定理求解．

解答：解：（1）由于物体在重力场和电场的复合场中，受到电场力和重力的作用，所以在圆弧BC上有一个等效最高点D（如图所示），若电场力和重力的合力给物体提供做圆周运动的合外力，则物体在D点有最小速度．
小球所受的电场力 Eq=

mg

q

q=mg，
则合力为 F_合=

2

mg       
在D点，由合力提供做圆周运动的合向心力时，小球在D点有最小速度．
则得：F_合=m

v2

R

，

2

mg=m

v 2 D

R

，
解得，D点速度的最小值 v_D=

2 gR

物体由D点到C点，动能定理：
  W_总=△E_k，
即 EqRsin45°-mgR（1-cos45°）=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 D

        
  mgR

2

2

-mgR+mgR

2

2

=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

2

gR
解得，C点速度最小值 v_C=

(3 2 -2)gR

（2）对整个过程，由动能定理可知：W_总=△E_k，
 即得：mg（h-2R）-Eq

h

tan60°

=

1

2

m

v

2 C

-0
       mg（h-2R）-mg

h

3

=

1

2

m(3

2

-2)gR
解得，h=

3 2 2 +1

1- 3 3

R
答：
（1）小球到达圆轨道最高点C时速度的最小值为

(3 2 -2)gR

．
（2）小球到达圆轨道最高点C速度最小值时，在斜面上释放小球的位置距离地面高度为

3 2 2 +1

1- 3 3

R．

点评：解决本题的关键是确定物理最高点D，知道临界状态是：D点由合力充当向心力．运用动能定理时，要注意明确研究的过程，然后求解．