Question

9．如图所示，水平放置的平行板电容器，原来两极板不带电，上极板接地，它的极板长L=0.1m，两板间距离d=0.4cm，有一束相同的带电微粒以相同的初速度先后从两极板中央平行极板射入，由于重力作用微粒能落到下极板上，微粒所带电荷立即转移到下极板且均匀分布在下极板上．设前一微粒落到下极板上时后一微粒才能开始射入两极板间．已知微粒质量为m=2×10^-6kg、电荷量q=1×10^-8C，电容器电容为C=1uF，取g=10m/s²．
（1）为使第一个微粒恰能落在下极板的中点到紧靠边缘的B点之内，求微粒入射初速度v₀的取值范围；
（2）若带电微粒以第（1）问中初速度v₀最小值入射，则最多能有多少个带电微粒落到下极板上？

Answer 1

分析 （1）第一个微粒做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，根据高度$\frac{d}{2}$和水平位移从$\frac{L}{2}$到L，求出初速度v₀的取值范围．
（2）当粒子刚好从边缘飞出时，落到下极板上的带电微粒最多，根据牛顿第二定律和运动学公式求出极板的电量Q，即可求出最多能落到下极板粒子的个数．

解答 解：（1）设粒子打在下极板中点、边缘的初速度分别为v₁，v₂，则偏转位移为：$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}g{t^2}$
得：$t=\sqrt{\frac{d}{g}}=\sqrt{\frac{{0.4×{{10}^{-2}}}}{10}}s=0.02s$
水平方向：$\frac{L}{2}={v_1}t$
L=v₂t
联立解得：v₁=2.5m/s，v₂=5m/s
故粒子的初速度满足2.5m/s≤v₀≤5m/s．
（2）设粒子刚好从边缘飞出时极板带电为Q，场强为E，板间电压为U，由牛顿第二定律得：
mg-Eq=ma
偏转位移：$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}a{t^2}$
水平位移：L=v₀t
又 v₀=2.5m/s
联立解得：E=1.5×10³N/C
则U=Ed，Q=CU
解得Q=6×10^-6C
最多能落到下极板粒子的个数为：n=$\frac{Q}{q}$=$\frac{6×1{0}^{-6}}{1×1{0}^{-8}}$=600个
答：（1）为使第一个微粒的落点范围能在下板中点到紧靠边缘的B点之内，微粒入射的初速度v₀的取值范围为2.5m/s≤v₀≤5m/s；
（2）若带电微粒以第一问中初速度v₀的最小值入射，最多能有600个带电微粒落到下极板上．

点评 本题是平抛运动和类平抛运动问题，要抓住它们研究方法、粒子运动轨迹等等的相似法，也要抓住区别：加速度不同，平抛运动的加速度是常量，而类平抛运动要根据牛顿第二定律求出．